《考研數(shù)學(xué)高數(shù)部分重難點(diǎn)總結(jié)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《考研數(shù)學(xué)高數(shù)部分重難點(diǎn)總結(jié)（26頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、考研數(shù)學(xué)高數(shù)部分重難點(diǎn)總結(jié) １高數(shù)部分 1.1 高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、持續(xù)》 1.2 求極限題最常用的解題方向：1．運(yùn)用等價(jià)無窮小;2.運(yùn)用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則,對(duì)于、、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型,再使用洛比達(dá)法則;３．運(yùn)用重要極限,涉及、、；４.夾逼定理。 1.3 高數(shù)第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》、第三章《不定積分》、第四章《定積分》 第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》與前面的第一章《函數(shù)、極限、持續(xù)》、背面的第三章《不定積分》、第四章《定積分》都是基本性知識(shí)，一方面有單獨(dú)出題的狀況，如歷年真題預(yù)測的填空題第一題常常是求極限；更重要的是在其他題目中需要做大量的靈活運(yùn)用，故非常有

2、必要打牢基本。 對(duì)于第三章《不定積分》,陳文燈復(fù)習(xí)指南分類討論的非常全面，范疇遠(yuǎn)不小于考試也許波及的范疇。在此只提示一點(diǎn):不定積分中的積分常數(shù)C容易被忽視,而考試時(shí)如果在答案中少寫這個(gè)Ｃ會(huì)失一分。因此可以這樣建立起兩者之間的聯(lián)系以加深印象：定積分的成果可以寫為F(x)＋1,1指的就是那一分,把它折彎后就是中的那個(gè)C,漏掉了C也就漏掉了這1分。 第四章《定積分及廣義積分》可以看作是對(duì)第三章中解不定積分措施的應(yīng)用，解題的核心除了運(yùn)用多種積分措施以外還要注意定積分與不定積分的差別——出題人在定積分題目中一方面也許在積分上下限上做文章:對(duì)于型定積分,若f(x)是奇函數(shù)則有=0；若f(x）為偶函數(shù)則

3、有=２；對(duì)于型積分,f(x)一般含三角函數(shù)，此時(shí)用的代換是常用措施。因此解這一部分題的思路應(yīng)當(dāng)是先看與否能從積分上下限中入手，對(duì)于對(duì)稱區(qū)間上的積分要同步考慮到運(yùn)用變量替代x=－u和運(yùn)用性質(zhì) 、。在解決完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化措施求解。這種思路對(duì)于證明定積分等式的題目也同樣有效。 1.4 高數(shù)第五章《中值定理的證明技巧》 由本章《中值定理的證明技巧》討論一下證明題的應(yīng)對(duì)措施。用如下這組邏輯公式來作模型：如果有邏輯推導(dǎo)公式AＥ、(AＢ)Ｃ、(ＣＤE)F,由這樣一組邏輯關(guān)系可以構(gòu)造出若干難易限度不等的證明題,其中一種可以是這樣的:條件給出A、B、Ｄ，求證F成立。 為

4、了證明F成立可以從條件、結(jié)論兩個(gè)方向入手,我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結(jié)論入手證明稱之為反方向。正方向入手時(shí)也許遇到的問題有如下幾類:1．已知的邏輯推導(dǎo)公式太多,難以從中找出有用的一種。如對(duì)于證明F成立必備邏輯公式中的AE就也許有AH、A(IK)、(ＡＢ) M等等公式同步存在，有的邏輯公式看起來最有也許用到,如(AB)　M，由于其中波及了題目所給的3個(gè)條件中的2個(gè)，但這恰恰走不通; 2.對(duì)于解題必須的核心邏輯推導(dǎo)關(guān)系不清晰，在該用到的時(shí)候想不起來或者弄錯(cuò)。如對(duì)于模型中的(AB) C,如果不懂得或弄錯(cuò)則一定無法得出結(jié)論。從反方向入手證明時(shí)也會(huì)遇到同樣的問題。 通過對(duì)這個(gè)模型的分析可以

5、看出,對(duì)可用知識(shí)點(diǎn)掌握的不牢固、不純熟和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大因素。 針對(duì)以上分析，解證明題時(shí)其一要靈活,在一條思路走不通時(shí)必須迅速轉(zhuǎn)換思路，而不應(yīng)當(dāng)再從頭開始反復(fù)地想自己的這條思路是不是哪里出了問題;此外更重要的一點(diǎn)是如何從題目中盡量多地獲取信息。 當(dāng)我們解證明題遇到困難時(shí),最常用的狀況是拿到題莫名其妙，感覺條件與欲證結(jié)論簡直是風(fēng)馬牛不相及的東西,長時(shí)間無法入手；好不容易找到一種大體方向，在做若干步后來卻再也無法與結(jié)論拉近距離了。從出題人的角度來看，這是由于沒可以有效地從條件中獲取信息?！氨M量多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同步出題教師

6、也正是這樣安排的,但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時(shí)也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時(shí)一開始就想到了公式(CDＥ)　F再倒推想到 (AB)?。谩ⅰＥ就可以證明了。 如果把重要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題,那么重要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的體現(xiàn)。其中的規(guī)律性很明顯,甚至可以以表格的形式表達(dá)出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型： 條件 欲證結(jié)論 可用定理 Ａ 有關(guān)閉區(qū)間上的持續(xù)函數(shù)，常常是只有持續(xù)性已知 存在一種滿足某個(gè)式子 介值定理(結(jié)論部分為:存在一種使得） 零值定理(結(jié)論部分為：存在一種

7、使得) B 條件涉及函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo) 存在一種滿足 費(fèi)爾馬定理（結(jié)論部分為： ） 洛爾定理（結(jié)論部分為：存在一種使得） C 條件涉及函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo) 存在一種滿足 拉格朗日中值定理(結(jié)論部分為:存在一種使得) 柯西中值定理(結(jié)論部分為:存在一種使得) 此外還常運(yùn)用構(gòu)造輔助函數(shù)法,轉(zhuǎn)化為可用費(fèi)爾馬或洛爾定理的形式來證明 從上表中可以發(fā)現(xiàn),有關(guān)中值定理證明的證明題條件一般比較單薄,如表格中Ｂ、C的條件是同樣的,同步A也只多了一條“可導(dǎo)性”而已;因此在面對(duì)這一部分的題目時(shí)，如果把與證結(jié)論與也許用到的幾種定理的的結(jié)論作一比較,會(huì)比從題目條

8、件上挖掘信息更容易找到入手處。故對(duì)于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)放在熟記定理的結(jié)論部分上；如果可以做到想到介值定理時(shí)就能同步想起結(jié)論“存在一種使得”、看到題目欲證結(jié)論中浮現(xiàn)類似“存在一種使得”的形式時(shí)也能立即想到介值定理；想到洛爾定理時(shí)就能想到式子；而見到式子也猶如見到拉格朗日中值定理同樣,那么在解決本部分的題目時(shí)就會(huì)輕松的多，時(shí)常還會(huì)收到“豁然開朗”的效果。因此說，“牢記定理的結(jié)論部分”對(duì)作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現(xiàn)的最為明顯。 綜上所述，針對(duì)涉及中值定理證明在內(nèi)的證明題的大方略應(yīng)當(dāng)是“盡一切也許挖掘題目的信息,不僅僅要從條件上充足考慮，

9、也要注重題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)合；同步保持蘇醒理智,減少出錯(cuò)的也許”。但愿這些想法對(duì)你能有一點(diǎn)啟發(fā)。但是僅僅弄明白這些離實(shí)戰(zhàn)規(guī)定還差得很遠(yuǎn)，由于在實(shí)戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當(dāng)時(shí)想不到;諸多結(jié)論、性質(zhì)和定理自己感覺的確是弄懂了、也差不多記住了,但是在做題時(shí)那種沒有提示、或者提示很少的條件下還是無法做到靈活運(yùn)用;這也就是自身感覺與實(shí)戰(zhàn)規(guī)定之間的差別。 這就像在記英語單詞時(shí)，看到英語能想到漢語與看到漢語能想到英語的掌握限度是不同的同樣,對(duì)于考研數(shù)學(xué)大綱中“理解”和“掌握”這兩個(gè)詞的結(jié)識(shí)其實(shí)是在做題的過程中才慢慢清晰的。我們需要做的就是靠足量、高效

10、的練習(xí)來透徹掌握定理性質(zhì)及純熟運(yùn)用多種變形轉(zhuǎn)換技巧,從而達(dá)到大綱的相應(yīng)規(guī)定,提高實(shí)戰(zhàn)條件下解題的勝算。依我看,最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。 1.5 高數(shù)第六章《常微分方程》 本章常微分方程部分的構(gòu)造簡樸，陳文燈復(fù)習(xí)指南對(duì)一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法相應(yīng)的表格。歷年真題預(yù)測中對(duì)于一階微分方程和可降階方程至少是以小題浮現(xiàn)的，也常常以大題的形式浮現(xiàn),一般是通過函數(shù)在某點(diǎn)處的切線、法線、積分方程等問題來引出;從歷年考察狀況和大綱規(guī)定來看，高階部分不太也許考大題，并且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。 對(duì)于本章的題目,第一步應(yīng)當(dāng)是辨明類型，

11、實(shí)踐證明這是必須放在第一位的；分清類型后來按照相應(yīng)的求解措施按部就班求解即可。這是由于其實(shí)并非所有的微分方程都是可解的，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中只討論了有限的可解類型,因此出題的靈活度有限,很難將不同的知識(shí)點(diǎn)緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。這樣的知識(shí)點(diǎn)特點(diǎn)就決定了我們可以采用相對(duì)機(jī)械的“辨明類型——〉套用相應(yīng)措施求解”的套路 ，并且多種類型的求解措施正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。 先討論一下一階方程部分。這一部分構(gòu)造清晰，對(duì)于多種方程的通式必須牢記，還要可以對(duì)易混淆的題目做出精確判斷。多種類型均有自己相應(yīng)的格式化解題措施，這些措施死記硬背并不容易，但有規(guī)律可循——這些措施最后的目的都是統(tǒng)一的，就是

12、把以多種形式浮現(xiàn)的方程都化為f(x）ｄｘ＝ｆ(y)ｄy這樣的形式,再積分得到答案。對(duì)于可分離變量型方程,就是變形為=－，再積分求解；對(duì)于齊次方程則做變量替代，則化為，原方程就可化為有關(guān)的可分離變量方程,變形積分即可解;對(duì)于一階線性方程第一步先求的通解,然后將變形得到的積分,第二步將通解中的Ｃ變?yōu)镃(x)代入原方程解出C（ｘ)后裔入即可得解;對(duì)于貝努利方程,先做變量代換代入可得到有關(guān)z、x的一階線性方程，求解后來將z還原即可;全微分方程M(x,y)dx+N(x，y)dｙ比較特殊，由于其有條件，并且解題時(shí)直接套用通解公式. 因此,對(duì)于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背環(huán)節(jié)和最后成果公式。對(duì)于

13、求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對(duì)于型方程，就是先把當(dāng)作未知函數(shù)Z，則　原方程就化為 的一階方程形式，積分即得；再對(duì)、依次做上述解決即可求解; 叫不顯含　 的二階方程，解法是通過變量替代　、　(p為ｘ的函數(shù))將原方程化為一階方程;叫不顯含x的二階方程，變量替代也是令（但此中的p為y的函數(shù)）,則，也可化為一階形式。 因此就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替代”，“求解貝努利方程就用變量替代”同樣，在這里也要記住“求解不顯含ｙ的二階方程就用變量替代、 ”、“求解不顯含ｘ的二階方程就用變量替代、”。 大綱對(duì)于高階方程部分的規(guī)定不高,只需記住相應(yīng)的公式即可。其中二階線性微分

14、方程解的構(gòu)造定理與線性代數(shù)中線性方程組解的構(gòu)造定理非常相似,可以對(duì)比記憶： 若、是齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則該齊次方程的通解為 若齊次方程組Ax＝0的基本解系有(n-r)個(gè)線性無關(guān)的解向量,則齊次方程組的通解為 非齊次方程的通解為,其中是非齊次方程的一種特解,是相應(yīng)齊次方程的通解 非齊次方程組Ax=ｂ的一種通解等于Aｘ=b的一種特解與其導(dǎo)出組齊次方程Ax=０的通解之和 若非齊次方程有兩個(gè)特解，則相應(yīng)齊次方程的一種解為 若、是方程組Aｘ＝ｂ的兩個(gè)特解,則（－）是其相應(yīng)齊次方程組Ax=０的解 由以上的討論可以看到，本章并不應(yīng)當(dāng)成為高數(shù)部分中比較 難辦的章節(jié)，由于這一章如果有難

15、點(diǎn)的話也僅在于“如何精確無誤地記憶多種方程類型及相應(yīng)解法”，也可以說本章難就難在記憶量大上。 1.6 高數(shù)第七章《一元微積分的應(yīng)用》 本章涉及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分,其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中浮現(xiàn)較少，并且一般不是題目的考察重點(diǎn)；而定積分的應(yīng)用在歷年真題預(yù)測的大題中常常浮現(xiàn),常與常微分方程結(jié)合。典型的構(gòu)題方式是運(yùn)用變區(qū)間上的面積、體積或弧長引出積分方程,一般需要把積分方程中的變上限積分單獨(dú)分離到方程的一端形成“＝∽”的形式,在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用有關(guān)方程的相應(yīng)解法求解。 對(duì)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有如下某些小知識(shí)點(diǎn)： 1. 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或

16、求導(dǎo)判斷，鑒定極、最值時(shí)則須注意如下兩點(diǎn): Ａ. 極值的定義是：對(duì)于的鄰域內(nèi)異于的任一點(diǎn)均有>或<,注意是＞或＜ 而不是≥或≤; B.　極值點(diǎn)涉及圖1、圖２兩種也許,因此只有在在處可導(dǎo)且在處取極值時(shí)才有。以上兩點(diǎn)都是實(shí)際做題中常常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。 2. 討論方程根的狀況。這一部分常用定理有零值定理（結(jié)論部分為）、洛爾定理(結(jié)論部分為）；常用到構(gòu)造輔助函數(shù)法；在作題時(shí)，畫輔助圖會(huì)起到較好的作用，特別是對(duì)于討論方程根個(gè)數(shù)的題目,結(jié)合函數(shù)圖象會(huì)比較容易判斷。 3. 理解辨別函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同鑒定條件:A.若函數(shù)在 區(qū)間I上的，則在I上是凸的;若在Ｉ上的,則

17、在I上是凹的；B.若在點(diǎn)處有且,則當(dāng)時(shí)為極大值，當(dāng)時(shí)為極小值。 其中,Ａ是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件,根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，是的變化率,是的變化率。可以闡明函數(shù)是增函數(shù)，典型圖像是; 可以闡明函數(shù)的變化率在區(qū)間I上是遞減的,涉及如下兩種也許： a．此時(shí)為正,且隨變大而變小（大小關(guān)系可參照?qǐng)D３); b.此時(shí)為負(fù)，隨變大而變小(大小關(guān)系可參照?qǐng)D３)； 同樣,也只有兩種相應(yīng)圖像： c.此時(shí)為正,隨著變大而變大； d.此時(shí)為負(fù)，隨變大而變大。 因此,當(dāng)時(shí)，相應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凸的;當(dāng)時(shí),相應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凹的。 相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充足條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“且”,這從圖

18、像上也很容易理解:滿足的圖像必是凸的,即或，當(dāng)且時(shí)不就一定是的狀況嗎。 對(duì)于定積分的應(yīng)用部分，一方面需要對(duì)微元法純熟掌握。在歷年考研真題預(yù)測中,有大量的題是運(yùn)用微元法來獲得方程式的,微元法的純熟應(yīng)用是倍受出題教師青睞的知識(shí)點(diǎn)之一;但是由于微元法這種措施自身有思維上的跳躍，對(duì)于這種靈活有效的措施必須通過足量的練習(xí)才干真正體會(huì)其思想。在此結(jié)合函數(shù)圖像與相應(yīng)的微元法核心式來歸納微元法的三種常用類型： 1. 薄桶型. 　本例求的是由平面圖型a≤x≤ｂ,0≤y≤f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。措施是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體(如上圖陰影部分所示),則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積 　,其中是薄桶的高

19、,是薄桶展開變成薄板后的底面積,就是薄板的厚度；兩者相乘即得體積。 對(duì) 積分可得 。在這個(gè)例子中,體現(xiàn)微元法特色的地方在于:1.雖然薄桶的高是個(gè)變化量，但卻用來表達(dá)；2.用表達(dá)薄桶的厚度；3.核心式。 2. 薄餅型.本例求的是由拋物線及繞軸旋轉(zhuǎn)形成的高 　的旋轉(zhuǎn)體體積,措施是取如上圖陰影部分所示的一種薄餅型形體，可得微元法核心式　。其中 是薄餅的底面積,薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ,∵，∴；同理薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ,　兩者相減即得薄餅底面積。核心式中的 　是薄餅的高。這個(gè)例子中的薄餅其實(shí)并不是上下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺(tái)，但將其視為上下等粗來求

20、解,這一點(diǎn)也體現(xiàn)了微元法的特色。 3. 薄球型.本例求球體質(zhì)量，半徑為　　,密度 ， 其中 　指球內(nèi)任意一點(diǎn)到球心的距離。措施是取球體中的一種薄球形形體,其內(nèi)徑為 厚度為 ，對(duì)于這個(gè)薄球的體積有 ,其中是薄球表面積,是厚度。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一種薄面后來再用底面積乘高得到的。由于很小,故可覺得薄球內(nèi)質(zhì)量均勻，為，則薄球質(zhì)量，積分可得成果。本例中“用內(nèi)表面的表面積乘以薄球厚度得到核心式”、“將內(nèi)的薄球密度視為均勻”體現(xiàn)了微元法的特色。 通過以上三個(gè)例子談了一下了我對(duì)微元法特點(diǎn)的一點(diǎn)結(jié)識(shí)。這種措施的靈活運(yùn)用必須通過自己動(dòng)手做題體會(huì)才干實(shí)現(xiàn)，由于其中某些邏輯表面上并不符

21、合常規(guī)思維，但也許這正是研究生入學(xué)考試出題教師喜歡微元法的因素。 有關(guān)定積分的應(yīng)用,如下補(bǔ)充列出了定積分多種應(yīng)用的公式表格: 求平面圖形面積 求旋轉(zhuǎn)體體積（可用微元法也可用公式) 左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積,繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積 左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積,繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積 已知平行截面面積求立體體積 　 求平面曲線的弧長 1.7 高數(shù)第八章《無窮級(jí)數(shù)》 本章在考研真題預(yù)測中最頻繁浮現(xiàn)的題型涉及“判斷級(jí)數(shù)斂散性”、“級(jí)數(shù)求和函數(shù)”和“函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開”。其中判斂是大、小題都常考的，在大題中一般作為第一問浮現(xiàn)

22、,求和與展開則都是大題。這一章與前面的常微分方程、背面的曲線曲面積分等章都是比較獨(dú)立的章節(jié),在考試時(shí)會(huì)出大題,并且章內(nèi)涉及的內(nèi)容多、比較復(fù)雜。陳文燈復(fù)習(xí)指南上對(duì)有關(guān)章節(jié)的指引并不盡如人意,由于套題型的措施在這些復(fù)雜章節(jié)中不能呈現(xiàn)其長處，故整體來說構(gòu)造比較散亂。 對(duì)于級(jí)數(shù)判斂部分,重要用的措施是比較法、級(jí)數(shù)斂散性的定義和四則運(yùn)算性質(zhì)。其中比較判斂法有一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有如下典型例子: 1．　已知級(jí)數(shù)收斂，判斷級(jí)數(shù)的斂散性。其判斂過程的核心是找到不等式,再應(yīng)用比較法的一般形式即可判明。其實(shí)這種“知一判一”式的題目是有局限性的——若已知級(jí)數(shù)收斂，則所規(guī)定判斂的級(jí)數(shù)只能也是收

23、斂的,由于只有“不不小于收斂級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)必收斂”這一條規(guī)則可用,若待判斂級(jí)數(shù)不小于已知收斂級(jí)數(shù),則成果無法鑒定。因此考研真題預(yù)測中一般只會(huì)出成選擇題“已知某級(jí)數(shù)收斂,則下列級(jí)數(shù)中收斂的是（)”。 2.　上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是給出級(jí)數(shù)某些性質(zhì)規(guī)定判斷斂散性,措施是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級(jí)數(shù)建立起聯(lián)系,再應(yīng)用比較法一般形式判斷。舉例如下:已知單調(diào)遞減數(shù)列滿足,判斷級(jí)數(shù)的斂散性。核心環(huán)節(jié)是：由得到,再運(yùn)用比較判斂法的一般形式即得。對(duì)于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會(huì)超過“知一判一”和“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。 冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開問題是重點(diǎn)內(nèi)容,也是

24、每年均有的必考題。通過做歷年真題預(yù)測，我發(fā)現(xiàn)像一元函數(shù)微積分應(yīng)用中的微元法、無窮級(jí)數(shù)中的求和與展開這樣倍受出題人青睞的知識(shí)點(diǎn)均有一種相似之處，就是這些知識(shí)點(diǎn)從表面上看比較復(fù)雜、難于把握,事實(shí)上也必須通過認(rèn)真思考和足量練習(xí)才干達(dá)到應(yīng)有的深度，但在領(lǐng)略到解決措施的精髓思想后來這些知識(shí)點(diǎn)又會(huì)“忽然”變的十分簡樸。 也就是說，掌握這樣的知識(shí)點(diǎn)門檻較高，但只要跨過緩慢的起步階段，背面的路就是一馬平川了;同步，具有這種特點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)也可以提供應(yīng)出題人更大的出題靈活性，而通過“找到更多便于靈活出題的知識(shí)點(diǎn)來跳出題型套路”正是近幾年考研真題預(yù)測出題專家致力達(dá)到的目的，這一趨勢不僅體目前了近年來的考卷上，也必然

25、是此后的出題方向。 因此我們在復(fù)習(xí)過程中對(duì)于具有“淺看復(fù)雜、深究簡樸、思路巧妙、出法靈活”的知識(shí)點(diǎn)要倍加注意,對(duì)于無窮級(jí)數(shù)這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識(shí)點(diǎn)，更是要緊抓不放。由于這種知識(shí)點(diǎn)對(duì)“復(fù)習(xí)時(shí)間投入量”的規(guī)定接近于一種定值,認(rèn)認(rèn)真真搞明白后來,只要接著做適量的題目鞏固就行了，有點(diǎn)“一次投入，終身受益”的意思，花時(shí)間來掌握很劃算。 此外,“求和與展開”的簡樸之處還在于：達(dá)到純熟做題限度后來會(huì)發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。這種規(guī)律是建立在對(duì)6個(gè)核心的函數(shù)展開式“熟之又熟”的掌握上的。對(duì)此6個(gè)展開式的掌握必須像掌握重要定理同樣，對(duì)條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不僅要一見

26、到三者中的任意一種就能立即寫出其她兩部分,并且要可以區(qū)別相似公式,將出錯(cuò)概率降到最小。公式如下： 1.　 　 (-1,１） 2. 　　　 (-1,１） ３． ４． 　 ５. 6． 這六個(gè)公式可以分為兩個(gè)部分，前3個(gè)互相關(guān)聯(lián),后３個(gè)互相關(guān)聯(lián)。1式是第一部分式子的基本。不就是一種無窮等比數(shù)列嗎，在時(shí)的求和公式正是函數(shù)展開式的左端。因此這個(gè)式子最佳記,以此為出發(fā)點(diǎn)看式子２:1式左端是，２式左端是；1式右端是，２式右端也僅僅是變成了交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故可以通過這種比較來記憶式子2;對(duì)于３式來說，公式左端的與2式左端的存在著關(guān)系“”，故由的展開式可以推導(dǎo)出的展開式

27、為。這三個(gè)式子中的,互相之間存在著上述的清晰聯(lián)系。 后3個(gè)式子的,互相之間的聯(lián)系重要在于公式右端展開式形式上的相似性。這一部分的基本式是公式4：與之相比，的展開式是,的展開式是。一種可當(dāng)作是將展開式中的奇數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級(jí)數(shù)得到的,一種可當(dāng)作是將展開式中的偶數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級(jí)數(shù)而得到。像這樣從“形似”上掌握不費(fèi)腦子，但要冒記混淆的危險(xiǎn)，但此處正好都是比較順的搭配：、習(xí)慣上說“正余弦”,先正后余；而的展開式相應(yīng)的是奇數(shù)項(xiàng)，的展開式相應(yīng)的是偶數(shù)項(xiàng)，習(xí)慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。 記好6個(gè)核心式是解決冪級(jí)數(shù)求和與函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開問題的基本，不僅在記憶上具有規(guī)律性，在解題時(shí)也大有規(guī)律可循。 在已知冪

28、級(jí)數(shù)求和函數(shù)時(shí)，最佳途徑是根據(jù)各個(gè)公式右端的形式來選定公式：第一部分(前3式)的展開式都不帶階乘,其中只有的展開式不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)；第二部分（后3式）的展開式都帶階乘,其中只有的展開式不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)。由題目給出的冪級(jí)數(shù)的形式就可以看個(gè)八九不離十了，例如給出的冪級(jí)數(shù)帶階乘而不是交錯(cuò)級(jí)數(shù),則應(yīng)當(dāng)用公式4，由于冪級(jí)數(shù)的變形變不掉階乘和;若題目給出的冪級(jí)數(shù)不帶階乘并且是交錯(cuò)級(jí)數(shù),則必從２、3兩式中選擇公式,其他狀況也類似。 對(duì)于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手,相對(duì)來說更為簡樸。在判斷出所用公式后來一般要使用下列變形措施使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替代（用于函數(shù)的冪

29、級(jí)數(shù)展開）、四則運(yùn)算(用于展開、求和）、逐項(xiàng)微積分（用于展開、求和）。 對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的題目,重要措施是構(gòu)造冪級(jí)數(shù)法，即運(yùn)用變換求得冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)后來代入極限式即可。其中的核心環(huán)節(jié)是選擇合適的，一般狀況下如果、這樣的項(xiàng)在分子中,則應(yīng)當(dāng)先用逐項(xiàng)積分再用逐項(xiàng)求導(dǎo),此時(shí)的應(yīng)為的形式,如、，以以便先積分；若題目有、這樣的項(xiàng),則應(yīng)為的形式,如、,便于先求導(dǎo)。這些經(jīng)驗(yàn)在做一定量的題目后就會(huì)得到。 本章最后的知識(shí)點(diǎn)是付立葉級(jí)數(shù)，很少考到,屬于比較偏的知識(shí)點(diǎn)，但其思想并不復(fù)雜，花時(shí)間掌握還是比較劃算的。函數(shù)的付立葉級(jí)數(shù)的物理意義就是諧波分析，即把一種復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)看作是若干個(gè)正余弦運(yùn)動(dòng)的疊加。一方面需記住

30、付立葉展開式和收斂定理,在具體展開時(shí)有如下兩種狀況: 1. 題目給出的函數(shù)至少有一種完整的周期,如圖則直接套用公式即可,不存在奇開拓和偶開拓的問題。對(duì)于形狀類似上圖的函數(shù)，展開以 后級(jí)數(shù)中既有正弦級(jí)數(shù)也有余弦級(jí)數(shù)； 若為奇函數(shù)如，則展開后只有正弦級(jí)數(shù)；若為偶函數(shù)則展開后只有余弦函數(shù)； 2. 題目給出函數(shù)后沒有闡明周期,則需要根據(jù)題目規(guī)定進(jìn)行 奇開拓或偶開拓。如圖，若規(guī)定進(jìn)行奇開拓就是展開成奇函數(shù)，此時(shí)得到的級(jí)數(shù)中只有正弦級(jí)數(shù),圖像為;若規(guī)定進(jìn)行偶開拓就是要展開成偶函數(shù)，此時(shí)得到的展開式中只有余弦級(jí)數(shù)，圖像為。 1.8 高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》 本章并不算很難，但其

31、中有大量的公式需要記憶,故如何減少記憶量是復(fù)習(xí)本章時(shí)需要重點(diǎn)考慮的問題。抓住本章前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系來復(fù)習(xí)是一種有效的方略,由于這樣做既可以避免反復(fù)記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的精確性。同步，知識(shí)點(diǎn)前后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點(diǎn)之一。如下列出本章中前后聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn): a) 矢量間關(guān)系在討論線線關(guān)系、線面關(guān)系中的應(yīng)用。這個(gè)聯(lián)系很 明顯,舉例來說,平面與直線平行時(shí)，平面的法矢量與直線的方向矢量互相垂直,而由矢量關(guān)系性質(zhì)知此時(shí)二矢量的數(shù)積為0,若直線方程為,平面方程為，則有。同理可對(duì)線面、線線、面面關(guān)系進(jìn)行鑒定。 b) 數(shù)積定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯(lián)系。數(shù)積定義式 為，故有，這個(gè)

32、式子是所有線線、線面、面面夾角公式的源公式。舉例來說,設(shè)直線,直線，則二直線夾角,其中、分別是兩條直線的方向矢量。對(duì)于線面、面面夾角同樣合用，只需注意一點(diǎn)就是線面夾角公式中不是而是，由于如右圖所示由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，因此線面夾角是兩矢量夾角的余角，即,故求夾角公式的左端是。對(duì)于線線夾角和面面夾角則無此問題。 c) 平面方程各形式間的互相聯(lián)系。平面方程的一般式、點(diǎn)法式、 三點(diǎn)式、截距式中，點(diǎn)法式和截距式都可以化為一般式。點(diǎn)法式（點(diǎn)為平面上已知點(diǎn)，為法矢量）可變形為，符合一般式的形式;截距式（為平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距）可變形為,也符合一般式的形式。

33、這樣的轉(zhuǎn)化不僅僅是為了更好地記公式，更重要是由于在考試中也許需要將這些式子互相轉(zhuǎn)化以以便答題（這種狀況在歷年真題預(yù)測中曾經(jīng)浮現(xiàn)過)。 同樣，直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形式和原則式之間可以互相轉(zhuǎn)化。直線方程的參數(shù)形式（是平面上已知點(diǎn),為方向矢量）可變形為,即為原則式；原則式若變形為則也可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式。這個(gè)轉(zhuǎn)化在歷年真題預(yù)測中應(yīng)用過不止一次。 d) 空間曲面投影方程、柱面方程、柱面準(zhǔn)線方程之間的區(qū)別與聯(lián) 系。有關(guān)這些方程的基本性知識(shí)涉及：表達(dá)的是一種空間曲面；由于空間曲線可視為由兩個(gè)空間曲面相交而得到的，故空間曲面方程為;柱面方程如圓柱面、橢圓柱面可視為是二元函數(shù)在三

34、維坐標(biāo)系中的形式。 在這些基本上分析，柱面方程的準(zhǔn)線方程如可視為是由空間曲面——柱面與特殊的空間曲面——坐標(biāo)平面相交形成的空間曲線,即右圖中的曲線2；而空間曲線的投影方程與柱面準(zhǔn)線方程其實(shí)是一回事,如上圖中曲線１的投影是由過曲線1的投影柱面與坐標(biāo)平面相交得到的，因此也就是圖中的柱面準(zhǔn)線。在由空間曲線方程求投影方程時(shí)，需要先從方程組中消去得到一種母線平行于軸的柱面方程;；再與聯(lián)立即可得投影方程。 1.9 高數(shù)第十章《多元函數(shù)微分學(xué)》 復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)可以先將多元函數(shù)各知識(shí)點(diǎn)與一元函數(shù)相應(yīng)部分作對(duì)比,這樣做即可以將

35、相似知識(shí)點(diǎn)區(qū)別開以避免混淆，又可以通過與一元函數(shù)的對(duì)比來增進(jìn)對(duì)二元函數(shù)某些地方的理解。本章重要內(nèi)容可以整頓成一種大表格: 二元函數(shù)的定義(略) 相似 一元函數(shù)的定義（略） 二元函數(shù)的持續(xù)性及極限: 二元函數(shù)的極限規(guī)定點(diǎn)以任何方向、任何途徑趨向時(shí)均有（、）。如果沿不同途徑的不相等，則可斷定不存在。 不同 一元函數(shù)的持續(xù)性及極限： 一元函數(shù)的極限與途徑無關(guān),由等價(jià)式即可判斷。 二元函數(shù)在點(diǎn)處持續(xù)性判斷條件為：存在且等于 相似 一元函數(shù)在點(diǎn)處持續(xù)性判斷條件為且等于 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用 偏導(dǎo)數(shù)的定義

36、 相似 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)定義 二元函數(shù)的全微分: 簡化定義為：對(duì)于函數(shù),若其在點(diǎn)處的增量可表達(dá)為，其中為的高階無窮小，則函數(shù)在處可微，全微分為，一般有 相似 一元函數(shù)的全微分: 簡化定義為：若函數(shù)在點(diǎn)處的增量可表達(dá)為，其中是的高階無窮小,則函數(shù)在該點(diǎn)可微,即，一般有 二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、持續(xù)三角關(guān)系圖 持續(xù) 　 　　 　 可導(dǎo) 　　　 可微 不同 二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、持續(xù)三角關(guān)系圖 持續(xù)　　 　　 　可導(dǎo) 可微 多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù) 設(shè)，，，且都

37、可導(dǎo)，則對(duì)的全導(dǎo)數(shù) 不同 一元函數(shù)沒有“全導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概念,但是左邊多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)其實(shí)可以從“一元復(fù)合函數(shù)”的角度理解。一元復(fù)合函數(shù)是指、時(shí)有。與左邊的多元函數(shù)全導(dǎo)數(shù)公式比較就可以將二式統(tǒng)一起來。 多元復(fù)合函數(shù)微分法 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式:設(shè)、、、,則有。對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在考研真題預(yù)測中有一種百出不厭的點(diǎn)就是函數(shù)對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)、、仍是覺得中間變量的復(fù)合函數(shù)，此時(shí)在求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)還要反復(fù)使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。這是需要通過足量做題來純熟掌握的知識(shí)點(diǎn),在背面的評(píng)題中會(huì)就題論題作更充足的論述。 相似 一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所示,與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式相似,只需分

38、清式子中與的不同即可 多元隱函數(shù)微分法 求由方程擬定的隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，可用公式： ,對(duì)于由方程組擬定的隱含數(shù)、可套用方程組 一元復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程微分法 對(duì)一元隱函數(shù)求導(dǎo)常采用兩種措施：1.公式 2．將視為的函數(shù),在方程兩邊同步對(duì)求導(dǎo) 一元參數(shù)方程微分法：若有則 有關(guān)這一部分,多元與一元的聯(lián)系不僅是“形似”,并且在相稱大限度上是相通的，在考研真題預(yù)測中此處與上面的多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是本章的兩個(gè)出題熱點(diǎn),屢屢浮既有關(guān)題目，在背面的評(píng)題中有更多討論。 多元函數(shù)的極值 極值定義：函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義,且對(duì)于其中異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，恒有或,則稱為的極小/大值,方程組的解稱為函數(shù)的駐

39、點(diǎn)。 相似 一元函數(shù)的極值 極值定義:函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義且對(duì)于其中異于該點(diǎn)的任一點(diǎn)恒有或,則稱為的極?。笾担匠痰慕夥Q為函數(shù)的駐點(diǎn)。 取極值的充足條件 函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有持續(xù)二階偏導(dǎo)，且滿足、、，若或則為極小值點(diǎn); 若或則為極大值點(diǎn)。 大綱對(duì)于多元函數(shù)條件極值的規(guī)定為“會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值”,是一種比較簡樸并且程式化的措施。一元函數(shù)則無相應(yīng)的內(nèi)容。 相似 取極值的充足條件 函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且滿足、，則: 若,則為極小值； 若,則為極小值 1.10 高數(shù)第十章《重積分》

40、 大綱對(duì)于本章的規(guī)定只有兩句：1.理解二重積分、三重積分的概念,理解重積分的性質(zhì),理解二重積分的中值定理。２.掌握二重積分的計(jì)算措施(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，會(huì)計(jì)算三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。這一部分在歷年真題預(yù)測中直接考到的狀況很少,但卻常常波及,特別是在有關(guān)曲線、曲面積分的題中,一般都需要將曲線、曲面積分轉(zhuǎn)化為重積分來計(jì)算成果。 有關(guān)二重積分的性質(zhì),可以結(jié)合二重積分的幾何意義和定積分的相應(yīng)性質(zhì)來理解，由于理解幾何意義有助于解應(yīng)用性問題,并且定積分和二重積分的性質(zhì)定理幾乎是一一相應(yīng)的,對(duì)比起來很直觀。 在做二重積分的題時(shí)常用的是更換積分順序的措施與幾種變換技巧，這一點(diǎn)在背面評(píng)題時(shí)會(huì)有針對(duì)性的討論。