《考研數(shù)學三歷真題及答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《考研數(shù)學三歷真題及答案（134頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 數(shù)學三試題 一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） （1）設 其導函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是_____. （2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為________. （3）設a>0，而D表示全平面，則=_______. （4）設n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ， 其中A的逆矩陣為B，則a=______. （5）設隨機變量X 和Y的相關系數(shù)為, 若，則Y與Z的相關系數(shù)為________. （6）設總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來自總體X的簡單隨機樣本，則當時，依概率

2、收斂于______. 二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)） （1）設f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù) (A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點x=0. (C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點x=0. [ ] （2）設可微函數(shù)f(x,y)在點取得極小值，則下列結論正確的是 (A) 在處的導數(shù)等于零. （B）在處的導數(shù)大于零. (C) 在處的導數(shù)小于零. (D) 在處的導數(shù)

3、不存在. [ ] （3）設，，，則下列命題正確的是 (A) 若條件收斂，則與都收斂. (B) 若絕對收斂，則與都收斂. (C) 若條件收斂，則與斂散性都不定. (D) 若絕對收斂，則與斂散性都不定. [ ] （4）設三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有 (A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0. (C) ab且a+2b=0. (D) a

4、b且a+2b0. [ ] （5）設均為n維向量，下列結論不正確的是 (A) 若對于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關. (B) 若線性相關，則對于任意一組不全為零的數(shù)，都有 (C) 線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為s. (D) 線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關. [ ] （6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：={擲第一次出現(xiàn)正面}，={擲第二次出現(xiàn)正面}，={正、反面各出現(xiàn)一次}，={正面出現(xiàn)兩次}，則事件 (A) 相互獨立. (B) 相互獨立. (C) 兩兩獨

5、立. (D) 兩兩獨立. [ ] 三、（本題滿分8分） 設 試補充定義f(1)使得f(x)在上連續(xù). 四 、（本題滿分8分） 設f(u,v)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足，又,求 五、（本題滿分8分） 計算二重積分 其中積分區(qū)域D= 六、（本題滿分9分） 求冪級數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值. 七、（本題滿分9分） 設F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件： ，，且f(0)=0, (1) 求F(x)所滿足的一階微分方程； (2) 求出F(x)的表達式. 八、（本題滿分8分）

6、 設函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使 九、（本題滿分13分） 已知齊次線性方程組 其中 試討論和b滿足何種關系時， (1) 方程組僅有零解； (2) 方程組有非零解. 在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系. 十、（本題滿分13分） 設二次型 ， 中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12. (1) 求a,b的值； (2) 利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣. 十一、（本題滿分13分） 設隨機變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù).

7、 求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù). 十二、（本題滿分13分） 設隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為 ， 而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u). 2003年考研數(shù)學（三）真題解析 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） （1）設 其導函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是. 【分析】 當0可直接按公式求導，當x=0時要求用定義求導. 【詳解】 當時，有 顯然當時，有，即其導函數(shù)在x=0處連續(xù). （2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為 . 【分析】 曲線在切點的斜率為0，即，由此可確

8、定切點的坐標應滿足的條件，再根據(jù)在切點處縱坐標為零，即可找到與a的關系. 【詳解】 由題設，在切點處有 ，有 又在此點y坐標為0，于是有 , 故 【評注】 有關切線問題應注意斜率所滿足的條件，同時切點還應滿足曲線方程. （3）設a>0，而D表示全平面，則= . 【分析】 本題積分區(qū)域為全平面，但只有當時，被積函數(shù)才不為零，因此實際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可. 【詳解】 = = 【評注】 若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可. （

9、4）設n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ， 其中A的逆矩陣為B，則a= -1 . 【分析】 這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過進行計算并注意利用乘法的結合律即可. 【詳解】 由題設，有 = = = =, 于是有 ，即 ，解得 由于A<0 ,故a=-1. （5）設隨機變量X 和Y的相關系數(shù)為, 若，則Y與Z的相關系數(shù)為 . 【分析】 利用相關系數(shù)的計算公式即可. 【詳解】 因為

10、 = =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且 于是有 cov(Y,Z)== 【評注】 注意以下運算公式：， （6）設總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來自總體X的簡單隨機樣本，則當時，依概率收斂于 . 【分析】 本題考查大數(shù)定律：一組相互獨立且具有有限期望與方差的隨機變量，當方差一致有界時，其算術平均值依概率收斂于其數(shù)學期望的算術平均值： 【詳解】 這里滿足大數(shù)定律的條件，且=，因此根據(jù)大數(shù)定律有 依概率收斂于 二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目

11、要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)） （1）設f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù) (A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點x=0. (C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點x=0. [ D ] 【分析】 由題設，可推出f(0)=0 , 再利用在點x=0處的導數(shù)定義進行討論即可. 【詳解】 顯然x=0為g(x)的間斷點，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0. 于是有 存在，故x=0為可去間斷點. 【評注1】 本題也可用反例排除，例如f(x)=x, 則此時g(x

12、)=可排除(A),(B),(C) 三項，故應選(D). 【評注2】 若f(x)在處連續(xù)，則. （2）設可微函數(shù)f(x,y)在點取得極小值，則下列結論正確的是 (A) 在處的導數(shù)等于零. （B）在處的導數(shù)大于零. (C) 在處的導數(shù)小于零. (D) 在處的導數(shù)不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏導數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結論. 【詳解】 可微函數(shù)f(x,y)在點取得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知，即在處的導數(shù)等

13、于零, 故應選(A). 【評注1】 本題考查了偏導數(shù)的定義，在處的導數(shù)即；而在處的導數(shù)即 【評注2】 本題也可用排除法分析，取，在(0,0)處可微且取得極小值，并且有，可排除(B),(C),(D), 故正確選項為(A). （3）設，，，則下列命題正確的是 (A) 若條件收斂，則與都收斂. (B) 若絕對收斂，則與都收斂. (C) 若條件收斂，則與斂散性都不定. (D) 若絕對收斂，則與斂散性都不定. [ B ] 【分析】 根據(jù)絕對收斂與條件收斂的關系以及收斂級數(shù)的運算性質(zhì)即可找出答案. 【詳解】 若絕對收斂，即收斂，當然也有級數(shù)收斂，再根

14、據(jù)，及收斂級數(shù)的運算性質(zhì)知，與都收斂，故應選(B). （4）設三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有 (A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0. (C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. [ C ] 【分析】 A的伴隨矩陣的秩為1, 說明A的秩為2，由此可確定a,b應滿足的條件. 【詳解】 根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關系知，秩(A)=2，故有 ，即有或a=b. 但當a=b時，顯然秩(A), 故必有 ab且a+2b=0. 應選(C). 【評注

15、】 n（n階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關系： （5）設均為n維向量，下列結論不正確的是 (A) 若對于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關. (B) 若線性相關，則對于任意一組不全為零的數(shù)，都有 (C) 線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為s. (D) 線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關. [ B ] 【分析】 本題涉及到線性相關、線性無關概念的理解，以及線性相關、線性無關的等價表現(xiàn)形式. 應注意是尋找不正確的命題. 【詳解】(A): 若對于任意一組不全為零的數(shù),都有 ，則必線性無關，因為若線性相關，則存在一組不全為零的數(shù),使得 ，矛盾.

16、 可見（A）成立. (B): 若線性相關，則存在一組，而不是對任意一組不全為零的數(shù)，都有 (B)不成立. (C) 線性無關,則此向量組的秩為s；反過來，若向量組的秩為s，則線性無關，因此(C)成立. (D) 線性無關,則其任一部分組線性無關，當然其中任意兩個向量線性無關，可見(D)也成立. 綜上所述，應選(B). 【評注】 原命題與其逆否命題是等價的. 例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則線性相關. 其逆否命題為：若對于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關. 在平時的學習過程中，應經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價性. （6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：={

17、擲第一次出現(xiàn)正面}，={擲第二次出現(xiàn)正面}，={正、反面各出現(xiàn)一次}，={正面出現(xiàn)兩次}，則事件 (A) 相互獨立. (B) 相互獨立. (C) 兩兩獨立. (D) 兩兩獨立. [ C ] 【分析】按照相互獨立與兩兩獨立的定義進行驗算即可，注意應先檢查兩兩獨立，若成立，再檢驗是否相互獨立. 【詳解】 因為 ，，，， 且 ，，，， 可見有 ，，， ，. 故兩兩獨立但不相互獨立；不兩兩獨立更不相互獨立，應選(C). 【評注】 本題嚴格地說應假定硬幣是均勻的，否則結論不一定成立. 三 、（本題

18、滿分8分） 設 試補充定義f(1)使得f(x)在上連續(xù). 【分析】 只需求出極限，然后定義f(1)為此極限值即可. 【詳解】 因為 = = = = = 由于f(x)在上連續(xù)，因此定義 ， 使f(x)在上連續(xù). 【評注】 本題實質(zhì)上是一求極限問題，但以這種形式表現(xiàn)出來，還考查了連續(xù)的概念.在計算過程中，也可先作變量代換y=1-x，轉化為求的極限，可以適當簡化. 四 、（本題滿分8分） 設f(

19、u,v)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足，又,求 【分析】 本題是典型的復合函數(shù)求偏導問題：，，直接利用復合函數(shù)求偏導公式即可，注意利用 【詳解】 ， 故 ， 所以 = 【評注】 本題考查半抽象復合函數(shù)求二階偏導. 五 、（本題滿分8分） 計算二重積分 其中積分區(qū)域D= 【分析】 從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應該利用極坐標進行計算. 【詳解】 作極坐標變換：，有 = 令，則 . 記 ，則 = = =

20、 = 因此 ， 【評注】 本題屬常規(guī)題型，明顯地應該選用極坐標進行計算，在將二重積分化為定積分后，再通過換元與分步積分（均為最基礎的要求），即可得出結果，綜合考查了二重積分、換元積分與分步積分等多個基礎知識點. 六、（本題滿分9分） 求冪級數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值. 【分析】 先通過逐項求導后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當x=0時和為1. 求出和函數(shù)后，再按通常方法求極值. 【詳解】 上式兩邊從0到x積分，得 由f(0)=1, 得 令，求得唯一駐點x=0. 由于 ， 可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為

21、 f(0)=1. 【評注】 求和函數(shù)一般都是先通過逐項求導、逐項積分等轉化為可直接求和的幾何級數(shù)情形，然后再通過逐項積分、逐項求導等逆運算最終確定和函數(shù). 七、（本題滿分9分） 設F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件： ，，且f(0)=0, (3) 求F(x)所滿足的一階微分方程； (4) 求出F(x)的表達式. 【分析】 F(x)所滿足的微分方程自然應含有其導函數(shù)，提示應先對F(x)求導，并將其余部分轉化為用F(x)表示，導出相應的微分方程，然后再求解相應的微分方程. 【詳解】 (1) 由 =

22、 = =(2-2F(x), 可見F(x)所滿足的一階微分方程為 (2) = = 將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是 【評注】 本題沒有直接告知微分方程，要求先通過求導以及恒等變形引出微分方程的形式，從題型來說比較新穎，但具體到微分方程的求解則并不復雜，仍然是基本要求的范圍. 八、（本題滿分8分） 設函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使 【分析】 根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點c，使得，

23、然后在[c,3]上應用羅爾定理即可. 條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價于，問題轉化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達到目的. 【詳解】 因為f(x)在[0，3]上連續(xù)，所以f(x)在[0，2]上連續(xù)，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是 ， ， . 故 由介值定理知，至少存在一點，使 因為f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導，所以由羅爾定理知，必存在，使 【評注】 介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是常考知識點，且一般是兩兩結合起來考. 本題

24、是典型的結合介值定理與微分中值定理的情形. 九、（本題滿分13分） 已知齊次線性方程組 其中 試討論和b滿足何種關系時， (1) 方程組僅有零解； (2) 方程組有非零解. 在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系. 【分析】方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同，問題轉化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計算具有明顯的特征：所有列對應元素相加后相等. 可先將所有列對應元素相加，然后提出公因式，再將第一行的（-1）倍加到其余各行，即可計算出行列式的值. 【詳解】 方程組的系數(shù)行列式 = (1) 當時且時，秩(A)=n，方程組僅有零解. (2) 當b=0 時，

25、原方程組的同解方程組為 由可知，不全為零. 不妨設，得原方程組的一個基礎解系為 ，， 當時，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為 （將第1行的-1倍加到其余各行，再從第2行到第n行同乘以倍） （ 將第n行倍到第2行的倍加到第1行，再將第1行移到最后一行） 由此得原方程組的同解方程組為 ，， . 原方程組的一個基礎解系為 【評注】 本題的難點在時的討論，事實上也可這樣分析：此時系數(shù)矩陣的秩為 n-1(存在n-1階子式不為零)，且顯然為方程組的一個非零解，即可作為基礎解系. 十、（本題滿分13分） 設二次型 ， 中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值

26、之積為-12. (3) 求a,b的值； (4) 利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣. 【分析】 特征值之和為A的主對角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b 的值；進一步求出A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構造的矩陣即為所求的正交矩陣. 【詳解】 （1）二次型f的矩陣為 設A的特征值為 由題設，有 ， 解得 a=1,b= -2. (2) 由矩陣A的特征多項式 ， 得A的特征值 對于解齊次線性方程組，得其基礎解系 ， 對于，解齊次線性方程組

27、，得基礎解系 由于已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得 ，， 令矩陣 ， 則Q為正交矩陣. 在正交變換X=QY下，有 ， 且二次型的標準形為 【評注】 本題求a,b，也可先計算特征多項式，再利用根與系數(shù)的關系確定： 二次型f的矩陣A對應特征多項式為 設A的特征值為，則由題設得 ， 解得a=1,b=2. 十一、（本題滿分13分） 設隨機變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù). 【分析】 先求出分布函數(shù)F(x) 的具體形式，從而可確定Y=F(X) ,然后按定義求Y 的分布函數(shù)即可.注意應先確定Y=F(X

28、)的值域范圍，再對y分段討論. 【詳解】 易見，當x<1時，F(xiàn)(x)=0; 當x>8 時，F(xiàn)(x)=1. 對于，有 設G(y)是隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù). 顯然，當時，G(y)=0；當時，G(y)=1. 對于，有 = = 于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為 【評注】 事實上，本題X為任意連續(xù)型隨機變量均可，此時Y=F(X)仍服從均勻分布: 當y<0時，G(y)=0; 當 時，G(y)=1; 當 0時， = = 十二、（本題滿

29、分13分） 設隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為 ， 而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u). 【分析】求二維隨機變量函數(shù)的分布，一般用分布函數(shù)法轉化為求相應的概率. 注意X只有兩個可能的取值，求概率時可用全概率公式進行計算. 【詳解】 設F(y)是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為 = =. 由于X和Y獨立，可見 G(u)= = 由此,得U的概率密度 = 【評注】 本題屬新題型，求兩個隨機變量和的分布，其中一個是連續(xù)型一個是離散型，要

30、求用全概率公式進行計算，類似問題以前從未出現(xiàn)過，具有一定的難度和綜合性. 2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 數(shù)學三試題 一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） (1) 若，則a =______，b =______. (2) 設函數(shù)f (u , v)由關系式f [xg(y) , y] = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0，則. (3) 設，則. (4) 二次型的秩為 . (5) 設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則_______. (6) 設總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來自總體和的簡單

31、隨機樣本, 則 . 二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)） (7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界. (A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 設f (x)在( , +)內(nèi)有定義，且， ，則 (A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點. (B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點. (C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點. (D) g(x)在點x = 0處的

32、連續(xù)性與a的取值有關. [ ] (9) 設f (x) = |x(1 x)|，則 (A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點. (B) x = 0不是f (x)的極值點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點. (C) x = 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點. (D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點. [ ] (10) 設有下列命題： (1) 若收斂，則收斂. (2) 若收斂，則收斂. (

33、3) 若，則發(fā)散. (4) 若收斂，則，都收斂. 則以上命題中正確的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ] (11) 設在[a , b]上連續(xù)，且，則下列結論中錯誤的是 (A) 至少存在一點，使得> f (a). (B) 至少存在一點，使得> f (b). (C) 至少存在一點，使得. (D) 至少存在一點，使得= 0. [ D ] (12) 設階矩陣與等價, 則必有 (A) 當時, . (B) 當時, . (C) 當時, . (D) 當時,

34、 . [ ] (13) 設階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的 互不相等的解，則對應的齊次線性方程組的基礎解系 (A) 不存在. (B) 僅含一個非零解向量. (C) 含有兩個線性無關的解向量. (D) 含有三個線性無關的解向量. [ ] (14) 設隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] 三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應寫出文字說明、證明過

35、程或演算步驟.) (15) (本題滿分8分) 求. (16) (本題滿分8分) 求，其中D是由圓和所圍成的 平面區(qū)域(如圖). (17) (本題滿分8分) 設f (x) , g(x)在[a , b]上連續(xù)，且滿足 ，x [a , b)，. 證明：. (18) (本題滿分9分) 設某商品的需求函數(shù)為Q = 100 5P，其中價格P (0 , 20)，Q為需求量. (I) 求需求量對價格的彈性(> 0)； (II) 推導(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時， 降低價格反而使收益增加. (19) (本題滿分9分) 設級數(shù) 的和函數(shù)為

36、S(x). 求： (I) S(x)所滿足的一階微分方程； (II) S(x)的表達式. (20)(本題滿分13分) 設, , , , 試討論當為何值時, (Ⅰ) 不能由線性表示; (Ⅱ) 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本題滿分13分) 設階矩陣 . (Ⅰ) 求的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩陣, 使得為對角矩陣. (22) (本題滿分13分) 設，為兩個隨機事件,且, , , 令 求 (Ⅰ) 二維隨機變量的概率分布;

37、 (Ⅱ) 與的相關系數(shù) ; (Ⅲ) 的概率分布. (23) (本題滿分13分) 設隨機變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設為來自總體的簡單隨機樣本, (Ⅰ) 當時, 求未知參數(shù)的矩估計量; (Ⅱ) 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量; (Ⅲ) 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量. 2004年考研數(shù)學（三）真題解析 一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） (1) 若，則a =，b =. 【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題. 【詳解】因為，且，所以 ，得a = 1. 極限化為 ，得b = 4. 因此，a = 1，b =

38、4. 【評注】一般地，已知＝ A， (1) 若g(x) 0，則f (x) 0； (2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0. (2) 設函數(shù)f (u , v)由關系式f [xg(y) , y] = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0， 則. 【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表達式，再求偏導數(shù)即可. 【詳解】令u = xg(y)，v = y，則f (u , v) =， 所以，，. (3) 設，則. 【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x 1 = t，再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù) 的積分性

39、質(zhì)即可. 【詳解】令x 1 = t， ＝. 【評注】一般地，對于分段函數(shù)的定積分，按分界點劃分積分區(qū)間進行求解. (4) 二次型的秩為 2 . 【分析】二次型的秩即對應的矩陣的秩, 亦即標準型中平方項的項數(shù), 于是利用初等變換 或配方法均可得到答案. 【詳解一】因為 于是二次型的矩陣為 , 由初等變換得 , 從而 , 即二次型的秩為2. 【詳解二】因為 , 其中 . 所以二次型的秩為2. (5) 設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 . 【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.

40、 【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為 故 . 【評注】本題是對重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型. (6) 設總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布, 和 分別是來自總體和的簡單隨機樣本, 則 . 【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征即可得答案. 【詳解】因為 , , 故應填 . 【評注】本題是對常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征的考查. 二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)） (7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界. (A) (1 , 0). (B) (

41、0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x) 在(a , b)內(nèi)有界. 【詳解】當x 0 , 1 , 2時，f (x)連續(xù)，而，， ，，， 所以，函數(shù)f (x)在(1 , 0)內(nèi)有界，故選(A). 【評注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a , b]上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間[a , b]上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界. (8) 設f (x)在( , +)內(nèi)有定義

42、，且， ，則 (A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點. (B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點. (C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點. (D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關. [ D ] 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元， 可將極限轉化為. 【詳解】因為= a(令)，又g(0) = 0，所以， 當a = 0時，，即g(x)在點x = 0處連續(xù)，當a 0時， ，即x = 0是g(x)的第一類間斷點，因此，g(x)在點x = 0處的連續(xù)性 與a的取值有關，故選(D). 【評注】

43、本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性. (9) 設f (x) = |x(1 x)|，則 (A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點. (B) x = 0不是f (x)的極值點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點. (C) x = 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點. (D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點. [ C ] 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況， 考查f

44、(x)在x = 0的左、右兩側的二階導數(shù)的符號，判斷拐點情況. 【詳解】設0 < < 1，當x ( , 0) (0 , )時，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x) 的極小值點. 顯然，x = 0是f (x)的不可導點. 當x ( , 0)時，f (x) = x(1 x)，， 當x (0 , )時，f (x) = x(1 x)，，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點. 故選(C). 【評注】對于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導數(shù)的符號來判斷. (10) 設有下列命題： (1) 若收斂

45、，則收斂. (2) 若收斂，則收斂. (3) 若，則發(fā)散. (4) 若收斂，則，都收斂. 則以上命題中正確的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ] 【分析】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來說明4個命題的正確性. 【詳解】(1)是錯誤的，如令，顯然，分散，而收斂. (2)是正確的，因為改變、增加或減少級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的收斂性. (3)是正確的，因為由可得到不趨向于零(n )，所以發(fā)散. (4)是錯誤的，如令，顯然，，都發(fā)散，而 收斂. 故選(B). 【評注】本題主要考查

46、級數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型. (11) 設在[a , b]上連續(xù)，且，則下列結論中錯誤的是 (A) 至少存在一點，使得> f (a). (B) 至少存在一點，使得> f (b). (C) 至少存在一點，使得. (D) 至少存在一點，使得= 0. [ D ] 【分析】利用介值定理與極限的保號性可得到三個正確的選項，由排除法可選出錯誤選項. 【詳解】首先，由已知在[a , b]上連續(xù)，且，則由介值定理， 至少存在一點，使得； 另外，，由極限的保號性，至少存在一點 使得，即. 同理，至少存在一點 使得. 所以，(A) (B) (C)都正

47、確，故選(D). 【評注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號性，有一定的難度. (12) 設階矩陣與等價, 則必有 (A) 當時, . (B) 當時, . (C) 當時, . (D) 當時, . [ D ] 【分析】 利用矩陣與等價的充要條件: 立即可得. 【詳解】因為當時, , 又 與等價, 故, 即, 故選(D). 【評注】本題是對矩陣等價、行列式的考查, 屬基本題型. (13) 設階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的 互不相等的解，則對應的齊次線性方程組的基礎解系 (A) 不存在.

48、 (B) 僅含一個非零解向量. (C) 含有兩個線性無關的解向量. (D) 含有三個線性無關的解向量. [ B ] 【分析】 要確定基礎解系含向量的個數(shù), 實際上只要確定未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩. 【詳解】 因為基礎解系含向量的個數(shù)=, 而且 根據(jù)已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎解系僅含一個解向量, 即選(B). 【評注】本題是對矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關系、線性方程組解的結構等多個知識點的綜合考查. (14) 設隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于 (A) . (B) .

49、 (C) . (D) . [ C ] 【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得. 【詳解】 由, 以及標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得 . 故正確答案為(C). 【評注】本題是對標準正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴格地說它的上分位數(shù)概念的考查. 三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.) (15) (本題滿分8分) 求. 【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價無窮小與羅必達法則求解即可. 【詳解】 =. 【評注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對于“”型極限，應充分利用等價無窮小替

50、換來簡化計算. (16) (本題滿分8分) 求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖). 【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓 ，再利用對稱性與極坐標計算即可. 【詳解】令， 由對稱性，. . 所以，. 【評注】本題屬于在極坐標系下計算二重積分的基本題型，對于二重積分，經(jīng)常利用對稱性及將一個復雜區(qū)域劃分為兩個或三個簡單區(qū)域來簡化計算. (17) (本題滿分8分) 設f (x) , g(x)在[a , b]上連續(xù)，且滿足 ，x [a , b)，. 證明：. 【分析】令F(x) = f (x) g(x)，，將積分不等式轉化為函數(shù)不等式即可. 【詳

51、解】令F(x) = f (x) g(x)，， 由題設G(x) 0，x [a , b]， G(a) = G(b) = 0，. 從而 ， 由于 G(x) 0，x [a , b]，故有 ， 即 . 因此 . 【評注】引入變限積分轉化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法. (18) (本題滿分9分) 設某商品的需求函數(shù)為Q = 100 5P，其中價格P (0 , 20)，Q為需求量. (I) 求需求量對價格的彈性(> 0)； (II) 推導(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加. 【分析

52、】由于> 0，所以；由Q = PQ及可推導 . 【詳解】(I) . (II) 由R = PQ，得 . 又由，得P = 10. 當10 < P < 20時，> 1，于是， 故當10 < P < 20時，降低價格反而使收益增加. 【評注】當> 0時，需求量對價格的彈性公式為. 利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個常用的公式： ，，， (收益對價格的彈性). (19) (本題滿分9分) 設級數(shù) 的和函數(shù)為S(x). 求： (I) S(x)所滿足的一階微分方程； (II) S(x)的表達式. 【分析】對S(x)進行求導，可得

53、到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達式. 【詳解】(I) ， 易見 S(0) = 0， . 因此S(x)是初值問題 的解. (II) 方程的通解為 ， 由初始條件y(0) = 0，得C = 1. 故，因此和函數(shù). 【評注】本題綜合了級數(shù)求和問題與微分方程問題，2002年考過類似的題. (20)(本題滿分13分) 設, , , , 試討論當為何值時, (Ⅰ) 不能由線性表示; (Ⅱ) 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】

54、將可否由線性表示的問題轉化為線性方程組 是否有解的問題即易求解. 【詳解】 設有數(shù)使得 . (*) 記. 對矩陣施以初等行變換, 有 . (Ⅰ) 當時, 有 . 可知. 故方程組(*)無解, 不能由線性表示. (Ⅱ) 當, 且時, 有 , 方程組(*)有唯一解： , , ． 此時可由唯一地線性表示, 其表示式為 ． (Ⅲ) 當時, 對矩陣施以初等行變換, 有 ， , 方程組(*)有無窮多解，　其全部解為 ,

55、 , ， 其中為任意常數(shù)． 可由線性表示, 但表示式不唯一,　其表示式為 ． 【評注】本題屬于常規(guī)題型, 曾考過兩次(1991, 2000). (21) (本題滿分13分) 設階矩陣 . (Ⅰ) 求的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩陣, 使得為對角矩陣. 【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計算問題, 通?？捎汕蠼馓卣鞣匠? 和齊次線性方程組來解決. 【詳解】　(Ⅰ) 　當時， ＝ , 得的特征值為，． 對， 解得，所以的屬于的全部特征向量為 　　　　　　(為任意不為零的常數(shù))． 對，

56、 得基礎解系為 ，，． 故的屬于的全部特征向量為 　　　　　　(是不全為零的常數(shù))． 當時， , 特征值為，任意非零列向量均為特征向量． (Ⅱ) 當時，有個線性無關的特征向量，令，則 當時，，對任意可逆矩陣, 均有 ． 【評注】本題通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計算, 齊次線性方程組的求解和矩陣的對角化等問題, 屬于有一點綜合性的試題. 另外,本題的解題思路是容易的, 只要注意矩陣中含有一個未知參數(shù), 從而一般要討論其不同取值情況. (22) (本題滿分13分) 設，為兩個隨機事件,且, , , 令 求 (Ⅰ) 二維隨機變量的概率分布;

57、 (Ⅱ) 與的相關系數(shù) ; (Ⅲ) 的概率分布. 【分析】本題的關鍵是求出的概率分布，于是只要將二維隨機變量的各取值對轉化為隨機事件和表示即可． 【詳解】 (Ⅰ) 因為 ，　于是　， 則有　， ， ， ， ( 或　)， 即的概率分布為： 0 1 0 1 (Ⅱ)　方法一：因為　，，， ，， ，， 　　　　　　， 所以與的相關系數(shù) 　　． 方法二： X, Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P

58、 P 則，，DY=, E(XY)=, 故 ，從而 (Ⅲ) 的可能取值為：0，1，2 ． ， ， ， 即的概率分布為： 0 1 2 【評注】本題考查了二維離散隨機變量聯(lián)合概率分布，數(shù)字特征和二維離散隨機變量函數(shù)的分布等計算問題，屬于綜合性題型 (23) (本題滿分13分) 設隨機變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設為來自總體的簡單隨機樣本, (Ⅰ) 當時, 求未知參數(shù)的矩估計量; (Ⅱ) 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量; (Ⅲ) 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量. 【分析】本

59、題是一個常規(guī)題型, 只要注意求連續(xù)型總體未知參數(shù)的矩估計和最大似然估計都須已知密度函數(shù), 從而先由分布函數(shù)求導得密度函數(shù). 【詳解】 當時, 的概率密度為 (Ⅰ) 由于 令 , 解得 , 所以, 參數(shù)的矩估計量為 . (Ⅱ) 對于總體的樣本值, 似然函數(shù)為 當時, , 取對數(shù)得 , 對求導數(shù)，得 　　　　　， 令　，　解得　， 于是的最大似然估計量為 　　 ． ( Ⅲ) 當時, 的概率密度為 對于總體的樣本值, 似然函數(shù)為 當時, 越大，越大, 即的最大似然估計值為 　　　　　, 于是的最

60、大似然估計量為 ． 2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 數(shù)學三試題 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） （1）極限= . （2） 微分方程滿足初始條件的特解為______. （3）設二元函數(shù)，則________. （4）設行向量組，，，線性相關，且，則a=_____. （5）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則 =______. （6）設二維隨機變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0

61、a 1 b 已知隨機事件與相互獨立，則a= ， b= . 二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)） （7）當a取下列哪個值時，函數(shù)恰好有兩個不同的零點. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）設,,,其中 ，則 (A) . （B）. (C) . (

62、D) . [ ] （9）設若發(fā)散，收斂，則下列結論正確的是 (A) 收斂，發(fā)散 . （B） 收斂，發(fā)散. (C) 收斂. (D) 收斂. [ ] （10）設,下列命題中正確的是 (A) f(0)是極大值，是極小值. （B） f(0)是極小值，是極大值. （C） f(0)是極大值，也是極大值. (D) f(0)是極小值，也是極小值. [ ] （11）以下四個命題中，正確的是 (A) 若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （B）若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，

63、則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （C）若在（0，1）內(nèi)有界，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. (D) 若在（0，1）內(nèi)有界，則在（0，1）內(nèi)有界. [ ] （12）設矩陣A= 滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉置矩陣. 若為三個相等的正數(shù)，則為 (A) . (B) 3. (C) . (D) . [ ] （13）設是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [

64、 ] （14） 設一批零件的長度服從正態(tài)分布，其中均未知. 現(xiàn)從中隨機抽取16個零件，測得樣本均值，樣本標準差，則的置信度為的置信區(qū)間是 (A) (B) (C)(D) [ ] 三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） （15）（本題滿分8分） 求 （16）（本題滿分8分） 設f(u)具有二階連續(xù)導數(shù)，且，求 （17）（本題滿分9分） 計算二重積分，其中. （18）（本題滿分9分） 求冪級數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x). （19）（本題滿分8分） 設f(x),g(x)在[0，1]上的

65、導數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,,.證明：對任何a,有 （20）（本題滿分13分） 已知齊次線性方程組 （i） 和 （ii） 同解，求a,b, c的值. （21）（本題滿分13分） 設為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對稱矩陣，C為矩陣. (I) 計算，其中； （II）利用(I)的結果判斷矩陣是否為正定矩陣，并證明你的結論. （22）（本題滿分13分） 設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II） 的概率密度 ( III ) （23）（本題滿分13分） 設為來自總體N(0,)的簡單隨機樣本，為樣本均值

66、，記 求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差 （III）若是的無偏估計量，求常數(shù)c. 2005年考研數(shù)學（三）真題解析 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） （1）極限= 2 . 【分析】 本題屬基本題型，直接用無窮小量的等價代換進行計算即可. 【詳解】 = （2） 微分方程滿足初始條件的特解為 . 【分析】 直接積分即可. 【詳解】 原方程可化為 ，積分得 ， 代入初始條件得C=2，故所求特解為 xy=2. （3）設二元函數(shù)，則 . 【分析】 基本題型，直接套用相應的公式即可. 【詳解】 , , 于是 . （4）設行向量組，，，線性相關，且，則a= . 【分析】 四個4維向量線性相關，必有其對應行列式為零，由此即可確定a. 【詳解】 由題設，有 , 得，但題設，故 （5）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則 = . 【分析】 本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式, 且第一次試驗的各種兩