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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,7,7,平面及其方程,一、平面的點法式方程,二、平面的一般方程,三、兩平面的夾角,法線向量、,平面的點法式方程,特殊的平面、,平面的一般方程、,截距式方程,兩平面的夾角、,兩平面夾角的余弦,兩平面平行與垂直的條件,點到平面的距離公式,一、平面的點法式方程,法線向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,這向量就叫做該平面的法線向量,或者叫法矢,x,y,z,O,n,唯一確定平面的條件：,如果一非零向量垂直于一平面，,這向量就電做該平面的法線向量,x,y,z,O,M,0,過一定點,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),的平面,有無窮個,一、平面的點法式方程,法線向

2、量：,唯一確定平面的條件：,法線向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,這向量就電做該平面的法線向量,x,y,z,O,M,0,過一定點,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),的平面,有無窮個,一、平面的點法式方程,唯一確定平面的條件：,一、平面的點法式方程,法線向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,這向量就電做該平面的法線向量,x,y,z,O,M,0,過一定點,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),的平面,有無窮個,唯一確定平面的條件：,一、平面的點法式方程,法線向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,這向量就電做該平面的法線向量,x,y,z,O,M,0,過一定點,M,0,(,

3、x,0,，,y,0,，,z,0,),并有確定,法向量,A,，,B,，,C,的平面只有一個,過一定點,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),的平面,有無窮個,n,唯一確定平面的條件：,一、平面的點法式方程,法線向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,這向量就電做該平面的法線向量,x,y,z,O,M,0,過一定點,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),并有確定,法向量,A,，,B,，,C,的平面只有一個,過一定點,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),的平面,有無窮個,n,平面方程的建立：,設(shè),M,(,x,，,y,，,z,),是平面,上的任一點,必與平面,的法線向量,n

4、,垂直，,設(shè),M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),為平面,上一點，,n,A,，,B,，,C,一個法線向量,為平面,的,即它們的數(shù)量積等于零：,由于,n,A,，,B,，,C,，,所以,A,(,x,x,0,),B,(,y,y,0,),C,(,z,z,0,),0,這就是平面,的方程,此方程叫做平面的點法式方程,x,y,z,O,M,0,M,n,即,x,2,y,3,z,8,0,例,1,求過點,(2,，,3,，,0),且以,n,1,，,2,，,3,為法線向量的平,面的方程,解,根據(jù)平面的點法式方程，,得所求平面的方程為,(,x,2),2(,y,3),3,z,0,，,解 先求出這平面的法線向量,

5、n,例,2,求過三點,M,1,(2,，,1,，,4),、,M,2,(,1,，,3,，,2),和,M,3,(0,，,2,，,3),的平面的方程,x,y,z,O,M,1,M,2,M,3,可取,n,根據(jù)平面的點法式方程，得所求平面的方程為,14(,x,2),9(,y,1),(,z,4),0,，,即,14,x,9,y,z,15,0,14,i,9,j,k,，,解 先求出這平面的法線向量,n,例,2,求過三點,M,1,(2,，,1,，,4),、,M,2,(,1,，,3,，,2),和,M,3,(0,，,2,，,3),的平面的方程,可取,方法二：設(shè)平面方程為,A,（,x-2,）,+B,（,y+1,）,+C,（

6、,Z-4,）,=0,點,M,2,、,M,3,滿足方程，代入方程：,解之得：,因此有：,二、平面的一般方程,所以任一三元一次方程,A,x,B,y,C,z,D,0,的圖形總是一個平面,任一平面都可以用它上面的一點,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),及它的法線向量,方程的一組數(shù),x,0,，,y,0,，,z,0,，即,A,x,0,B,y,0,C,z,0,D,0,反過來，設(shè)有三元一次方程,A,x,B,y,C,z,D,0,任取滿足該,由于方程,A,x,B,y,C,z,D,0,與方程,A,(,x,x,0,),B,(,y,y,0,),C,(,z,z,0,),0,同解，,n,A,，,B,，,C,來確定，,

7、平面的點法式方程是三元一次方程,A,(,x,x,0,),B,(,y,y,0,),C,(,z,z,0,),0,則有,A,(,x,x,0,),B,(,y,y,0,),C,(,z,z,0,),0,，,這是平面的點法式方程,方程,A,x,B,y,C,z,D,0,稱為平面的一般方程,平面的法線向量為,n,A,，,B,，,C,考察下列特殊的平面，指出法線向量與坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的關(guān),系，平面與坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的關(guān)系，平面通過的特殊點或線,例如，,方程,3,x,4,y,z,9,0,表示一個平面，,n,3,，,4,，,1,是這平面的一個法線向量,討論：,D=,0,：,A,x,B,y,C,z,0,A,=0,：,B,y

8、,C,z,D,0,B,=0,：,A,x,C,z,D,0,C,=0,：,A,x,B,y,D,0,A,=,B,=0,：,C,z,D,0,B,=,C,=0,：,A,x,D,0,A,=,C,=0,：,B,y,D,0,將其代入所設(shè)方程并除以,B,(,B,0),，便得所求的平面方程為,y,3,z,0,例,3,求通過,x,軸和點,(4,，,3,，,1),的平面的方程,解 由于平面通過,x,軸，從而它的法線向量垂直于,x,軸，,于是法線向量在,x,軸上的投影為零，即,A,0,又由于平面通過,x,軸，它必通過原點，于是,D,0,因此可設(shè)這平面的方程為,By,Cz,0,又因為這平面通過點,(4,，,3,，,1),

9、，所以有,3,B,C,0,，,或,C,3B,例,4,設(shè)一平面與,x,、,y,、,z,軸的交點依次為,P,(,a,0,0),、,Q,(0,b,0),、,R,(0,0,c,),三點，,求這平面的方程,(,其中,a,0,，,b,0,，,c,0),x,y,z,O,P,(,a,0,0),R,(0,0,c,),Q,(0,b,0),n,解 設(shè)所求平面的方程為,A,x,B,y,C,z,D,0,因,P,(,a,0,0),、,Q,(0,b,0),、,R,(0,0,c,),三點都在這平面上，所以點,P,、,Q,、,R,的坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程；即有,解得,將其代入所設(shè)方程并除以,D,(D,0),，便得所求的平面方程為,

10、此方程稱為,截距式方程,而,a,b,c,依次叫做,例,4,設(shè)一平面與,x,、,y,、,z,軸的交點依次為,P,(,a,0,0),、,Q,(0,b,0),、,R,(0,0,c,),三點，,求這平面的方程,(,其中,a,0,，,b,0,，,c,0),平面在,x,y,z,軸上的截距,1,三、兩平面的夾角,兩平面的夾角：,兩平面的法線向量的夾角,(,通常指銳角,),稱為兩平面的平角,),q,2,),q,n,2,n,1,來確定,設(shè)平面,1,和,2,的法線向量分別為,n,1,A,1,，,B,1,，,C,1,，,n,2,A,2,，,B,2,，,C,2,那么平面,1,和,2,的夾角,應(yīng)是,(,n,1,n,2,

11、),和,(,-,n,1,n,2,)=,p-,(,n,1,n,2,),兩者中的銳角，,因此，,cos,|cos(,n,1,n,2,)|,按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式，平面,1,和,2,的夾角,可由,cos,從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論：,（,1,）平面,1,和,2,互相,垂直當(dāng)且僅當(dāng),A,1,A,2,B,1,B,2,C,1,C,2,0,；,（,2,）平面,1,和,2,互相,平行或重合當(dāng)且僅當(dāng),例,5,求兩平面,x,y,2,z,6,0,和,2,x,y,z,5,0,的夾角,解,n,1,A,1,，,B,1,，,C,1,1,，,1,，,2,，,n,2,A,2,，,B,2,，,C,2,

12、2,，,1,，,1,，,cos,例,6,一平面通過兩點,M,1,(1,，,1,，,1),和,M,2,(0,，,1,，,1),且垂直于,平面,x,y,z,0,，求它的方程,解 設(shè)所求平面的法線向量為,n,A,，,B,，,C,1,，,0,，,2,已知另一平面的法線向量為,所以可取,2,i,j,k,，,從而所求平面方程為,2(,x,1),(,y,1),(,z,1),0,，即,2,x,y,z,0,n,1,1,，,1,，,1,由已知條件，有,n,，,n,n,1,n,=,n,1,設(shè),P,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),是平面,A,x,B,y,C,z,D,0,外一點，求,P,0,到,這平面的距離,點到平面的距離：,在平面上任取一點,P,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,并作一法線向量,n,，,則,P,0,到這平面的距離為,設(shè),n,為與向量同向的單位向量，則有,P,0,P,1,N,n,又因,Ax,1,By,1,Cz,1,D,0,，,所以,由此得點,P,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),到平面,A,x,B,y,C,z,D,0,的距離公式,：,例,7,求點,(2,，,1,，,1),到平面,x,y,z,1,0,的距離,解,d,所以點到平面的距離,d,