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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,*,2 – 4 能量守恒定律,第二,章 動(dòng)力學(xué)基本,定律,,力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積（,功是,標(biāo)量,，,過(guò)程量,）。,一 功,和功率,力的,空間累積,效應(yīng),:,,，,動(dòng)能定理,.,B,*,*,A,對(duì) 積累,,,合力的功,,=,分力的功的代數(shù)和,,變力的功,直角系,自然系,,,功的大小,與參照系有關(guān),,功的量綱和單位,,平均功率,,瞬時(shí)功率,,功率的單位,,（,瓦特）,,,思考1,一質(zhì)點(diǎn)受力 （SI）作用，沿,x,軸正方向

2、運(yùn)動(dòng)。求質(zhì)點(diǎn)從 到 m，力 作的功。,,思考2,一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在幾個(gè)力作用下的位移為：,,（SI），其中一個(gè)力 為恒力：,,（SI），求此力在該位移過(guò)程中所作的功。,,二 動(dòng)能和動(dòng)能定理,動(dòng)能（,狀態(tài),函數(shù),）,,動(dòng)能定理,,合,外力對(duì),質(zhì)點(diǎn),所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的,增量。,,功和動(dòng)能都與,參考系,有關(guān)；動(dòng)能定理僅適用于,慣性系,。,注意,1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理,,,例1,質(zhì)量為,m,的質(zhì)點(diǎn)系在一端固定的繩子上在粗糙水平面上作半徑為,R,的圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，由初速,v,0,減小為,v,0,/2。求：(1)摩擦力作的功；(2)滑動(dòng)摩擦因

3、數(shù)。,解：,（1）根據(jù),質(zhì)點(diǎn),動(dòng)能定理，摩擦力的功,,（2）因摩擦力,方向與運(yùn)動(dòng)方向相反,可得,,,例 2,,如圖所示，一鏈條總長(zhǎng)為,L,、質(zhì)量為,M,，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的長(zhǎng)度為,a,，鏈條與桌面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為,μ,。在重力作用下鏈條由靜止開始下落，求鏈條末端離開桌面時(shí)的速率。,,解,鏈條受三個(gè)力作用：摩擦力、重力、桌面的支持力（此力不作功）。建立坐標(biāo)如圖所示，則重力、摩擦力的功（均為,變力,）分別為,,,重力的功可用重力勢(shì)能的減少來(lái)求。,,對(duì)鏈條、細(xì)棒這樣一些有一定長(zhǎng)度的物體，計(jì)算,重力勢(shì)能,和,重力的力矩,時(shí)可將其質(zhì)量集中在質(zhì)心，從而當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)處理。,解得,由動(dòng)能定理

4、得,,1） 質(zhì)點(diǎn)系中,一對(duì)內(nèi)力的功,如圖所示，質(zhì)點(diǎn)系的兩個(gè)質(zhì)量為,,和,,的質(zhì)點(diǎn)，它們相對(duì)于參考點(diǎn),O,,的位矢分別為,,和,,，,它們間的相互作用力為,,和,,，,,，在,d,t,時(shí)間內(nèi)的位移分別為 和 。,則 和,,對(duì)質(zhì)點(diǎn),,和,,作功之和為,2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理,,質(zhì)點(diǎn)系中,一對(duì)內(nèi)力的總功,質(zhì)點(diǎn)系中,一對(duì)內(nèi)力的總功只取決于兩相互作用的質(zhì)點(diǎn)的,相對(duì)位移,，而,與參考系,的選擇,無(wú)關(guān),。,說(shuō)明,一對(duì)內(nèi)力的作功的,充要條件,是：兩質(zhì)點(diǎn)間沿,相互作用力的方向上,有相對(duì)位移,。,,2） 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理,,質(zhì)點(diǎn)系,動(dòng)能定理,,內(nèi)力功,外力功,對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有

5、,對(duì)第 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有,內(nèi)力,可以,改變,質(zhì)點(diǎn),系,的,動(dòng)能,。,注意,,,例,3,,如圖所示，一輛質(zhì)量為,M,,的平頂小車靜止在,,光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為,m,,的小物體以水平,,速度,v,0,,滑向車頂。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為,?,,，,,求：,(,1),從物體滑上車頂?shù)较鄬?duì)車頂靜止需多少時(shí)間？,,(2),要物體不滑下車頂，車長(zhǎng)至少應(yīng)為多少,？,,,m,M,解,,(M+m),：,水平方向動(dòng)量守恒,,式中,v,是相對(duì)靜止時(shí)的速度,。,,(1),物體,m,：由動(dòng)量定理得,,聯(lián)立,(1)(2),得,（2）,因所求車的長(zhǎng)度,L,即為物體,,與小車,相對(duì)位移,，物體與小車所,,組成的系

6、統(tǒng)的,一對(duì)內(nèi)力,——摩擦力,作功之和不為零,，又因只有摩擦力作功，故由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理知：,或用牛頓第二定律及勻變速直線運(yùn)動(dòng)方程求解。,,m,M,,,例4,如圖所示，用質(zhì)量為,M,的鐵錘把質(zhì)量為,m,的釘子敲入木板。設(shè)木板對(duì)釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時(shí)，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問(wèn)第二次能把釘子敲入多深？,解,設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為,v,0,，敲打后兩者的共同速度為,v,。,,鐵錘第一次敲打時(shí)，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力大小為：,由動(dòng)能定理， 有：,,即,第二次能敲入的深度為：,設(shè)鐵錘第二次敲打時(shí)能敲入的深度為Δ,S,

7、，則有,,1,）,,萬(wàn)有引力作功,以,為參考系， 的位置矢量為,.,1 萬(wàn)有引力、重力、彈性力作功的特點(diǎn),對(duì),的萬(wàn)有引力為,由 點(diǎn)移動(dòng)到 點(diǎn)時(shí) 作功為,,三 保守力和非保守力 勢(shì)能,,,,A,B,2,）,,重力作功,,3,）,,彈性力作功,,2 保守力和勢(shì)能,重力功,彈力功,引力功,,保守力,：力所作的功,與路徑無(wú)關(guān),，僅決定于相互作用質(zhì)點(diǎn)的,始末,相對(duì),位置,,.,,非保守力,：力所作的功與路徑,有關(guān),.（例如,摩擦,力）,,物體沿,閉合路徑,運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，,保守力對(duì)它所作的,功等于零,.,,保守力的功,彈性,勢(shì)能,引力,勢(shì)能,重力,勢(shì)能,彈力,功,引

8、力,功,重力,功,,勢(shì)能,,在具有保守力相互作用的系統(tǒng)內(nèi)，,與物體間相互作用及,相對(duì)位置,有關(guān)的能量,稱為,系統(tǒng)的勢(shì)能,.,,,勢(shì)能具有,相對(duì)性,，勢(shì)能,大小,與,勢(shì)能零點(diǎn),的選取,有關(guān),,.,勢(shì)能是,狀態(tài),函數(shù),令,,勢(shì)能是屬于,具有保守力相互作用,質(zhì)點(diǎn)系,系統(tǒng),的,,.,討論,,勢(shì)能計(jì)算,,勢(shì)能,微分式,,彈性,勢(shì)能曲線,重力,勢(shì)能曲線,引力,勢(shì)能曲線,,勢(shì)能曲線,,,機(jī)械能,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理,,非保守力的功,四 質(zhì)點(diǎn)系的功能原理,,質(zhì)點(diǎn)系的,功能原理,,質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力作功之和,.,,,當(dāng),時(shí)，,有,,功能原理,五 機(jī)械能守恒定律,,機(jī)械能守恒定律,只有,保

9、守內(nèi)力作功,的情況下，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變,.,,守恒定律的,意義,,不究過(guò)程細(xì)節(jié),而能對(duì),系統(tǒng)的狀態(tài),下結(jié)論，這是,各個(gè)守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn),.,,,如圖的系統(tǒng)，物體 A，B 置于光滑的桌面上，物體 A 和 C, B 和 D 之間摩擦因數(shù)均不為零，首先用外力沿水平方向相向推壓 A 和 B， 使彈簧壓縮，后拆除外力， 則 A 和 B 彈開過(guò)程中， 對(duì)A、B、C、D 及彈簧所組成的系統(tǒng),討論,（,A,）動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒 .,,（,B,）動(dòng)量不守恒，機(jī)械能不守恒 .,,（,C,）動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒 .,,（,D,）動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒 .,,（,E,）動(dòng)量守恒，機(jī)械能不一定守恒,

10、.,D,B,C,A,D,B,C,A,,例 1,有一輕彈簧，其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn),P,，另一端系一質(zhì)量為,,m,,的小球，小球穿過(guò)圓環(huán)并在光滑圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)。開始小球靜止于點(diǎn),A,，彈簧處于自然狀態(tài)，其長(zhǎng)度為圓環(huán)半徑,,R,； 當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的底端點(diǎn),,B,,時(shí)，小球?qū)A環(huán)沒有壓力。求彈簧的勁度系數(shù),。,解,以彈簧、小球和地球?yàn)橄到y(tǒng),只有保守內(nèi)力做功,系統(tǒng)機(jī)械能守恒,取圖中點(diǎn) 為重力勢(shì)能零點(diǎn),,又,,聯(lián)立（1）（2）解得,即,系統(tǒng)機(jī)械能守恒 ，圖中,B,點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn),,,例2,如圖所示，光滑地面上有一輛質(zhì)量為,,M,,的靜止的小車，小車上一長(zhǎng)為,

11、,L,,的輕繩將小球,,m,,懸掛于,,O,點(diǎn)。把繩拉至水平，并將小球由靜止釋放。求,(,1,),小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速率、小車的速率；,(,2,),小球?qū)π≤囁龅墓Α?解得,對(duì)嗎？,解,以小球和地球?yàn)檠芯繉?duì)象，,,它受兩個(gè)力：繩的拉力,,，重,,力,,。因?yàn)樾∏蚶@,,O,,點(diǎn)作圓運(yùn),,動(dòng)，拉力,,與運(yùn)動(dòng)方向垂直，,,因此它不作功，只有重力（保,,守力）作功，所以,機(jī)械能守恒,：,O,L,m,M,,,說(shuō)小球繞,O,點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)，拉力,,,不作功，因而機(jī)械能守恒，這,,是以小車為參考系作的結(jié)論。這,,里有兩個(gè)錯(cuò)誤：一是,小車,是,非慣,,性系,（有加速度），機(jī)械能守恒,,定律是,不成立,！二是機(jī)

12、械能守恒,,條件中的功，應(yīng)該在慣性系中計(jì),,算。在慣性系（地面）上看，拉,,力,F,T,是要作功的，機(jī)械能不守恒。,,正確的解法是取,小車,、,小球,和,地球,為系統(tǒng)，一對(duì)內(nèi)力（拉力 和 ）作功之和為零，系統(tǒng)中只有保守內(nèi)力——重力作功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。,O,L,m,M,,(,1,)(,M,,+,,m,,+,,地球,),系統(tǒng)機(jī)械能守恒,,系統(tǒng)動(dòng)量守恒嗎？,,豎直方向的動(dòng)量顯然不守恒，,,原因是此時(shí)地面的支持力不等于,,兩物體的重力，在豎直方向合外,,力不為零；只有在,水平方向,（系統(tǒng)不受外力）,動(dòng)量守恒,：,解式,(,1,)、(,2,),得小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速率為：

13、,O,L,m,M,,(,2,)以,小車為研究對(duì)象，由動(dòng)能,,定理得,O,L,m,M,,六 碰撞,碰撞,：,兩,個(gè)或兩個(gè)以上的,物體，,相互作用的,接觸時(shí)間極短,而,互作用力很大,、,并使物體的,運(yùn)動(dòng)狀態(tài),發(fā)生,急劇變化,的過(guò)程。,,,設(shè)有質(zhì)量分別為 和 ，速度分別為 和,,的小球作,對(duì)心碰撞,，兩球的速度方向相同。分析碰撞后的速度 和 。,取速度方向?yàn)檎?，由?dòng)量守恒定律得,碰前,碰后,碰撞的,恢復(fù)系數(shù),1 碰撞的基本方程,,機(jī)械能的損失,?,E,碰前,碰后,,碰前,碰后,2 碰撞的兩種極端情形,完全彈性碰撞,碰撞,恢復(fù)系數(shù),此時(shí)

14、,完全彈性碰撞,的,特點(diǎn),：,兩物體碰撞之后，總動(dòng)能保持不變。系統(tǒng),動(dòng)量守恒,，,機(jī)械能守恒,。,,（,1,）若,則,（,2,）若,且,則,（,3,）若,且,則,討 論,碰前,碰后,,完全彈性碰撞,（五個(gè)小球質(zhì)量全同）,,完全非彈性碰撞,的,特點(diǎn),：,兩物體碰撞后以共同速度運(yùn)動(dòng)；系統(tǒng),動(dòng)量守恒,，,機(jī)械能不守恒,且損失最大。,非完全彈性碰撞,：,由于非保守力的作用，兩物體碰撞后，使機(jī)械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能、化學(xué)能等其他形式的能量；系統(tǒng)的,動(dòng)量守恒,。,完全非彈性碰撞,碰撞,恢復(fù)系數(shù),非完全彈性碰撞,碰撞,恢復(fù)系數(shù),,,例1,一質(zhì)量為,M,的彈簧振子，水平放置并靜止在平衡位置，如圖所示。一質(zhì)量為

15、,m,,的子彈以水平速度,v,射入振子中，并隨之一起運(yùn)動(dòng)。設(shè)振子,M,與地面間的摩擦系數(shù)為,μ,，求彈簧的最大壓縮量。,,,解,,1,）以(,,M+m,,)為對(duì)象：水平方向的外力有摩擦力和彈性力，雖合力不會(huì)為零，但這兩個(gè)力均,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于,碰撞的內(nèi)力，因此兩力均可以忽略，故水平方向動(dòng)量守恒：,平衡位置,m,,2,）,壓縮過(guò)程,,,,由功能原理得：,聯(lián)立(1)(2)解得彈簧的最大壓縮量為,平衡位置,m,,,例2,如圖所示，固定的光滑斜面與水平面的夾角,?,,=30,?，輕質(zhì)彈簧上端固定，今在其另一端輕輕地掛上一質(zhì)量為,M,=1.0,kg的木塊，木塊由靜止沿斜面向下滑動(dòng)。當(dāng)木塊向下滑,,x,,=30,

16、厘米時(shí)，恰好有一質(zhì)量,m,=,,0.01,kg的子彈，沿水平方向以速度,,v,,=,,200,m/s,,射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù),k,,=25,N/m。求子彈打入木塊后它們剛開始一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。,,x,k,?,?,m,M,零勢(shì)點(diǎn),（木塊+彈簧+地球）系統(tǒng)機(jī)械能守恒。選彈簧原長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能的零點(diǎn)，木塊下滑,x,時(shí)的速度為,v,1,解,,1,）木塊的下滑過(guò)程,,則,x,k,?,?,m,M,零勢(shì)點(diǎn),,方向沿斜面向下。,子彈射入木塊過(guò)程中，斜面給木塊的支持力不能忽略（與內(nèi)力相當(dāng)），而系統(tǒng)沿斜面方向的外力（重力、彈性力）的分力可以忽略，故只有,沿斜面方向,系統(tǒng)的近似,動(dòng)量守恒,。

17、若以,v,2,表示一起運(yùn)動(dòng)的速度，有,2,）碰撞過(guò)程——以,（子彈+木塊）為系統(tǒng),解得：,v,2,,= – 0.89 m/s,，,負(fù)號(hào),表示,沿斜面向上,。,,（,子彈+,木塊+彈簧）組成的系統(tǒng),機(jī)械能守恒,：,解,,,子彈與,木塊組成的系統(tǒng)水平方向,動(dòng)量守恒,：,,例3,如圖在光滑的水平面上，一原長(zhǎng)為 、勁度系數(shù)為 的,輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為 的木塊相連并靜止于,,A,,點(diǎn)。設(shè)有一質(zhì)量,,的子彈，以初速度 水平射中木塊并嵌在其中。當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)到,,B,,點(diǎn)時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為 。求木塊在,,B,,點(diǎn)時(shí)的速度 。,,A,O,B,,（,子彈+,木塊）組成的

18、系統(tǒng),角動(dòng)量守恒,：,A,O,B,聯(lián)立 求出 ；,（1）,（2）,代入 求出 。,（3）,,解,,,1,）,兩物體碰撞過(guò)程中為完全非彈性,碰撞,，水平方向動(dòng)量守恒。運(yùn)用動(dòng)量守恒定律得：,,,例4,質(zhì)量為,,,的物體，靜止在固定于桌面上的半徑為,,R,,的光滑半球頂端，如圖所示。今有另一質(zhì)量為,,的粘性物體，以水平速度,,與之碰撞，并一起,,沿此半球面滑下。求：1）物體滑離球面時(shí)的角度,?,,；,,2）當(dāng),,多大時(shí)，物體直接飛離球面。,?,,?,兩物體在球面上滑動(dòng)時(shí)，只有重力作功，所以,機(jī)械能守恒,。設(shè)當(dāng)物體,滑離球面,時(shí)的速率為,

19、,，相應(yīng)夾角為,?,,。,滑離球面的條件,,?,2,）當(dāng) 時(shí)，物體將直接飛離球面,,,例,5,一質(zhì)量為,m,,的小球豎直落入水中，剛接觸水面時(shí)其速率為 。設(shè)此球在水中所受的浮力與重力相等，水的阻力為 ，,b,為一常量。求阻力對(duì)球作的功與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,。,解,如圖建立坐標(biāo)軸,即,又,,,例 6,一質(zhì)量為1.0kg 的小球系在長(zhǎng)為1.0m 細(xì)繩下 端 , 繩的上端固定在天花板上 . 起初把繩子放在與豎直線成 角處, 然后放手使小球沿圓弧下落 . 試求繩與豎直線成 角時(shí)小球的速率,.,

20、解,,,由動(dòng)能定理,得,,例7,如圖所示，質(zhì)量為,,m,,的雪橇與一勁度系數(shù)為,,k,,的輕彈簧碰撞，雪橇將彈簧壓縮了,,x,0,,米。設(shè)雪橇與斜面間的摩擦因數(shù)為,?,，求開始碰撞時(shí)雪橇的速率,v,?,解,以雪橇、彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng)，力 與 不作功、,,摩擦力 作功，重力、彈簧的彈力是保守力。,,取地面為零重力勢(shì)能點(diǎn)，由功能原理,,,例8,質(zhì)量為,,、,,( ) 的兩木板A和B，用輕彈簧連在一起，如圖所示。問(wèn)：(1)至少需用多大的壓力,,加于上板，才能在該力撤去后，恰好使 離開地面? (2) 如 、,,交換位置，結(jié)果如何?

21、,解,設(shè)彈簧初始?jí)嚎s ，施,,加,,后， 下降 ；,,,撤去后，,,比原位置上升,,，這時(shí),恰使,,,,被提起,,,A,B,,,恰好使 離開地面的條件為,取最低點(diǎn)處為重力勢(shì)能零點(diǎn),由機(jī)械能守恒得,解得,故,A,B,,,?,,例 9,半徑為,R,、質(zhì)量為,,M,,且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一質(zhì)量為,,m,,的小物體，當(dāng)小物體從頂端無(wú)初速地下滑，在如圖所示的,?,,角位置處，開始脫離球面，試求：,,1）,?,,角滿足的關(guān)系式；,,2）分別討論,,m,/,M,<<1,,和,,m,/,M,>>1,,時(shí),cos,?,,的取值。,,解,：

22、,1,）取地面為慣性系，因 ( m+M ) 系統(tǒng)沿水平方向不受外力，所以,水平方向動(dòng)量守恒,；又以m、M和地球?yàn)橄到y(tǒng)的,機(jī)械能守恒,，有,?,,注意,式中的,,、,,是,m,相對(duì)地面的速度。由速度合成定理得,（1）,（2）,,?,注意：,小物體脫離半球后，半球以 作慣性運(yùn)動(dòng)。以半球?yàn)閼T性系分析，小物體脫離半球瞬間仍相對(duì)球面作圓運(yùn)動(dòng)，小物體沿法向滿足,,2,）當(dāng),,m,/,M,<<1,,時(shí)，,這表明，這時(shí),,M,,一下子滑出，,m,,豎直下落,。,當(dāng),,m,/,M,>>1,,時(shí)，,分解因式得,這相當(dāng)于,,M,,固定不動(dòng),的情況。,則有,聯(lián)立式,,解得：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,,