考研數(shù)學(xué)二選擇題填空題 一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上. (1) 設(shè)，其中，則當(dāng)時(shí)，是 ( ) (A) 比高階的無窮小 (B) 比低階的無窮小 (C) 與同階但不等價(jià)的無窮小 (D) 與等價(jià)的無窮小 【答案】(C) 【解析】， 又 與同階但不等價(jià)的無窮小. 所以選（C）. (2) 設(shè)函數(shù)由方程確定，則 ( ) （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】（A） 【解析】因?yàn)榧? 又 兩邊對(duì)求導(dǎo)得：， 將，代入上式得. 選（A）. (3) 設(shè)函數(shù)，，則 （ ） （A）是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) （B）是函數(shù)的可去間斷點(diǎn) （C）在處連續(xù)但不可導(dǎo) （D）在x=處可導(dǎo) 【答案】（C） 【解析】因是在唯一的第一類間斷點(diǎn)，即在可積，故在連續(xù). 因是的第一類間斷點(diǎn)，故在不可導(dǎo). 所以選（C）. (4) 設(shè)函數(shù)，若反常積分收斂，則 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（D） 【解析】 ，是瑕點(diǎn)，故時(shí)，瑕積分收斂. ，要使其收斂，需. 綜上所述選（D）. （5）設(shè)，其中函數(shù)可微，則 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】（A） 【解析】 選（A）. （6）設(shè)是圓域在第象限的部分，記則 （ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】（B） 【解析】第二象限中，，始終 即 選（B）. (7) 設(shè)A，B，C均為n階矩陣，若，且可逆，則 （ ） (A) 矩陣的行向量組與矩陣的行向量等價(jià) (B) 矩陣的列向量組與矩陣的列向量等價(jià) (C) 矩陣的行向量組與矩陣的行向量等價(jià) (D) 矩陣的列向量組與矩陣的列向量等價(jià) 【答案】（B） 【解析】將按列分塊， 由于，故 即 即的列向量組可由的列向量線性表示 由于可逆，故，的列向量組可由的列向量組線性表示 選（B）. (8) 矩陣與相似的充分必要條件為 （ ） (A) (B)為任意實(shí)數(shù) (C) (D)為任意實(shí)數(shù) 【答案】(B) 【解析】令，， 因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱矩陣，為對(duì)角陣，則與相似的充要條件是的特征值分別為 的特征方程 =， 因?yàn)槭堑奶卣髦?，所? 所以，即. 當(dāng)時(shí)，， 的特征值分別為所以為任意常數(shù)即可. 故選(B). 文章資料由經(jīng)濟(jì)學(xué)金融考研網(wǎng)整理發(fā)布。 二、填空題：914小題，每小題4分，共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上. (9) ____________. 【答案】. 【解析】 . (10) 設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)=在處的導(dǎo)數(shù)=_______. 【答案】 【解析】 (11) 設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為=，則所圍平面圖形的面積是　 . 【答案】 【解析】. (12) 曲線上對(duì)應(yīng)于=1的點(diǎn)處的法線方程為__________. 【答案】 【解析】, . 當(dāng)時(shí) ，， 所以法線方程，即. (13) 已知，，是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程滿足條件，的解為＝____________. 【答案】 【解析】 故該方程組的通解為.由得.從而滿足初始條件的解為. (14) 設(shè)是3階非零矩陣，為的行列式，為的代數(shù)余子式，若，則=__________. 【答案】-1 【解析】由于故 ① ② ③ 而或；又，否則由①②③得與題設(shè)矛盾. 三、解答題：15～23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. (15)(本題滿分10分) 當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無窮小.求與的值. 【答案】， 【解析】 ，即時(shí)，上式極限存在. 當(dāng)時(shí)，由題意 . (16) (本題滿分10分) 設(shè)是由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形，分別是繞軸， 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若，求的值. 【解析】由旋轉(zhuǎn)體積公式得： ， 由已知條件知所以. (17) (本題滿分10分) 設(shè)平面區(qū)域由直線及圍成.計(jì)算. 【解析】 由， 故 (18) (本題滿分10分) 設(shè)奇函數(shù)在上具有2階導(dǎo)數(shù)，且.證明： （Ⅰ）存在.使得 (Ⅱ)存在 使得. 【解析】 （I）由于在上為奇函數(shù)，故，則 令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 ，由羅爾定理，存在，使得即 （II）由于在上為奇函數(shù)，則在上為偶函數(shù)，所以由（I） . 令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 ，由羅爾定理存在，使得 即. (19) (本題滿分10分) 求曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離與最短距離. 【解析】設(shè) 建立拉格朗日函數(shù) 令 （i） 若，得不合題意. （ii） 若，得或，均得不合題意. 若，得或，由①②得 ，代入得，即得，故距離為. 又； 所以最長(zhǎng)距離為，最短距離為1. (20) (本題滿分11分) 設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求的最小值; (Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足證明：存在并求此極限. 【解析】（I） 令是唯一駐點(diǎn)，且當(dāng)，當(dāng) 所以是的極小值點(diǎn)，故是最小值. （II）由（I）知，又由已知 可得，即，所以單調(diào)遞增. 又由，可得，所以有上界 由單調(diào)有界定理，存在，設(shè)為. 對(duì)于兩邊取極限得， 又，所以，又由（I）可知，即. (21) (本題滿分11分) 設(shè)曲線的方程為 . (Ⅰ)求的弧長(zhǎng)； (Ⅱ)設(shè)是由曲線，直線，及軸所圍成平面圖形，求的形心的橫坐標(biāo). 【解析】設(shè)弧長(zhǎng)為，由弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，得 （II）由形心的計(jì)算公式，得 其中為軸以及所圍成的圖形. (22) (本題滿分11 分) 設(shè)，，當(dāng)為何值時(shí)，存在矩陣，使得，并求所有 矩陣. 【解析】設(shè)，由于，故 ， 即. (I) 由于矩陣存在，故方程組(I)有解.對(duì)(I)的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換： 方程組有解，故，，即. 當(dāng)時(shí)，增廣矩陣變?yōu)? 為自由變量，令，代為相應(yīng)的齊次方程組，得. 令，代為相應(yīng)齊次方程組，得. 故，，令，得特解，，方程組的通解為，所以，其中為任意常數(shù). (23) (本題滿分11 分) 設(shè)二次型.記 . (Ⅰ)證明二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為； (Ⅱ)若正交且均為單位向量.證明在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為. 【解析】證明：(I) ，其中. 由于所以二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為. (II)由于，與正交，故，，為單位向量，故，故，同樣.，由于，故有特征值.，由于，故有特征值. . 所以，故. 因此在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為.