數(shù)學(xué)邏輯 一 、 數(shù)學(xué)邏輯 1.邏 輯 邏輯一詞譯自英文“Logic”，源于希臘文 “Logos”，原意“詞”、“思想”、“理性”，在日常生活中，“邏輯”是一個多義詞，既指事物發(fā)展規(guī)律，又指思維規(guī)律，也指邏輯科學(xué)。中學(xué)數(shù)學(xué)中的邏輯，主要指形式邏輯，也部分涉及辯證邏輯。 形式邏輯是一門以思維形式及其規(guī)律為主要研究對象，同時涉及一些簡單邏輯方法的科學(xué)。 辯證邏輯是關(guān)于思維的辯證發(fā)展規(guī)律的科學(xué)，是唯物辯證法在思維領(lǐng)域的應(yīng)用，從本質(zhì)上說，辯證邏輯和唯物辯證法是一致的，唯物辯證法的基本規(guī)律也就是辯證邏輯的規(guī)律。 2.思 維 思維是指人腦對客觀事物間接的和概括的認(rèn)識過程；通過這種認(rèn)識，可以把握事物的一般屬性和本質(zhì)屬性。 思維有兩個基本特點：間接性和概括性。 間接性主要指思維是人腦對于客觀事物的間接認(rèn)識過程。所謂間接認(rèn)識，就是以其他事物作為媒介，借助于已有的知識和經(jīng)驗，去認(rèn)識那些沒有直接感知過的或者難以直接感知的事物，預(yù)見和推測事物的發(fā)展過程。 概括性主要指思維是人腦對于客觀事物的概括認(rèn)識過程。所謂概括認(rèn)識，就是以大量已知事實為依據(jù)，在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，舍去某類事物的個別特點，抽出其共性的東西，從而得出這類事物的一般特性，發(fā)現(xiàn)事物間的科學(xué)規(guī)律。 3.思維的具體過程： （1）發(fā)現(xiàn)問題是解決問題的起點，也是解決問題的歸宿。問題就是矛盾；發(fā)現(xiàn)問題就是發(fā)現(xiàn)矛盾； （2）明確問題，就是發(fā)現(xiàn)問題之后，經(jīng)過進一步分析，從一系列矛盾中，找出其主要矛盾。明確問題有兩個基本要求：一是理清問題的癥結(jié)之所在；二是準(zhǔn)確地把問題表述出來。即在解答數(shù)學(xué)題中，表掘，弄清題目意思，分辨條件、問題（或結(jié)論），發(fā)掘題中概念的特征或圖形的性質(zhì)； （3）提出假設(shè)，就是明確問題之后，提出解決問題的原則、方案、途徑和方法； （4）檢驗假設(shè)，就是驗證提出的假設(shè)的真實性，檢驗假設(shè)通常有兩條途徑：一是在實踐活動中檢驗，如通過畫圖、測量、實驗等檢驗；二是在思維活動中去檢驗，如通過間接推理來檢驗假設(shè)。檢驗獲得成功，就可以對所考察的問題作出相應(yīng)的正確結(jié)論。 4.思維的常用方法： （1）分析和綜合 在思維中把事物的整體分解為部分，把復(fù)雜事物分解為簡單要素，把完整的過程分解為各個階段，并分別加以研究的思維方法叫分析；把事物的各個部分、各個方面、各種要素、各個階段連接為整體進行考察的思維方法叫綜合 （2）比較和分類 確定有關(guān)事物的共同點和不同點的思維方法叫比較；根據(jù)事物的共同性和差異性，把具有相同屬性的事物歸于一類，把不同屬性的事物歸入不同的類的思維方法叫分類 （3）抽象、概括和具體化 把各種事物的共同屬性抽取出來加以考察的思維方法叫抽象；把抽象出來的事物的共同屬性聯(lián)合起來加以考察的思維方法叫概括；把抽象、概括中獲得的概念和理論運用于實際，以恰當(dāng)?shù)膶嵗齺碚f明概念，解釋理論的思維方法叫具體化 （4）系統(tǒng)化 把各種有關(guān)材料歸入某種一定的順序，納入某種一定的體系的思維方法叫系統(tǒng)化 （5）類比、歸納和演繹 類比、歸納和演繹都從屬于數(shù)學(xué)推理。推理是從一個或幾個已知判斷，推出另一個新判斷的思維形式。推理可分為直接推理（是指只有一個前提的推理）和間接推理（是指兩個或兩個以上前提組成的推理）。類比推理、歸納推理和演繹推理均屬于間接推理范疇。由特殊場合的知識推出特殊場合的知識思維形式，叫類比推理。具體地說，它是根據(jù)兩個（或兩類）事物的某些相同的性質(zhì)，推測它們在別的性質(zhì)上也可能相同的推理形式。（特別注意：類比推理所引出的結(jié)論不一定真實。） 由特殊場合的知識推出一般原理的思維形式，叫歸納推理。有完全歸納法和不完全歸納法兩種常見形式。完全歸納法是指研究了某類事物中的每一個對象，然后概括出這類事物的一般性結(jié)論。因而由正確的前提必能得出正確的結(jié)論；不完全歸納法是指通過對某類事物中的部分對象的研究，概括出這類事物的一般性結(jié)論。前提和結(jié)論未必有必然的聯(lián)系。因此由不完全歸納法得到的結(jié)論，只有或然的性質(zhì)，結(jié)論是否正確還需要經(jīng)過理論的證明和實踐的檢驗。 由一般原理推出特殊場合知識的思維形式，叫演繹推理。可分為直言三段論和假言直言三段論。直言三段論，是從兩個直言判斷（其中一個必為全稱判斷）得出第三個判斷的演繹推理。第一個判斷提供了一般的原理叫做三段論的大前提；第二個判斷提出一個特殊場合的情形，叫做小前提；綜合這兩個判斷，得到反映一般原理與特殊場合聯(lián)系的判斷，即為第三個判斷，叫做結(jié)論。 例1.凡平行四邊形（M）的對角線互相平分（P）（大前提），正方形（S）是平行四邊形（M）（小前提）；所以，正方形（S）的對角線互相平分（P）（結(jié)論）。 假言直言三段論，是從一個假言判斷和一個直言判斷得出第三個判斷的演繹推理。有肯定式和否定式兩種；肯定式是從肯定假言前提的條件，從而肯定它的后件推理；否定式是從否定假言前提的后件，從而否定它的前件的推理。 例2.若兩角是對頂角，則這兩個角相等。角所以BOD。 例3. 若兩角不相等，則這兩個角不是對頂角。 BOD，所以角 5.思維的基本規(guī)律 在形式邏輯中，概念、判斷和推理三種基本的思維形式要準(zhǔn)確地運用概念和判斷，進行推理或證明，必須遵守同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等四條基本規(guī)律 （1）同一律.在同一時間內(nèi)，從同一方面，思考或者議論同一事物的過程中，必須始終保持同一的認(rèn)識。 （2）矛盾律.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷，不能同真。 （3）排中律.在同一思維過程中，兩個互相否定的概念或判斷，必然一個是真的。排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)。 （4）充足理由律.任何一個真實的判斷，必然有充足的理由 二、數(shù)學(xué)概念 概念是人們對客觀事物的一種認(rèn)識，是反映客觀事物的本質(zhì)的思維形式。概念不同于感覺，感覺是具體的、直接的，概念是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感覺的重要特征。 1.概念的內(nèi)涵和外延 內(nèi)涵：概念所反映的對象本質(zhì)的總和（概念所反映的對象的質(zhì)的方面）叫做概念的內(nèi)涵。 外延：概念所反映的對象的總和（概念所反映的對象的數(shù)量，或?qū)ο蟮姆秶┙凶龈拍畹耐庋印? 2.定義、劃分、判斷、命題及其定理 定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，也就是通過指出概念所反映的事物本質(zhì)，來說明概念的邏輯方法。 劃分是揭示概念外延的邏輯方法，也就是通過把一個屬概念劃分為若干種概念來明確概念的邏輯方法。 判斷是對客觀事物的一種認(rèn)識，是對客觀事物有所肯定或否定的思維形式。 命題是做出判斷時思維活動的過程，通過語言、文字或符號而表達的數(shù)學(xué)判斷，也可以理解為，可以判斷正確或判斷錯誤的句子叫做命題。“命題”由“題設(shè)”和“結(jié)論”兩部分組成。正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題。 數(shù)學(xué)中的定義、定理、公式、性質(zhì)、法則都是數(shù)學(xué)命題。 對于同一素材可以做出四個命題：原命題、逆命題、否命題、逆否命題。互逆或互否的兩個命題的真實性并非一致，既可以兩個同真也可以同假，也可以一真一假；兩個互互為逆否的兩個命題的真實性是一致的，同真或同假（現(xiàn)在初中不講“否命題”和“逆否命題”）。 數(shù)學(xué)命題有真有假，凡是經(jīng)過邏輯證明確認(rèn)其真實性的命題，叫做定理。 一些定理是由某一定理直接推得的，它的真實性只需稍加思索就能確定，不需要詳細(xì)論證，這樣的定理叫做推論關(guān)系。如果一個定理的逆命題也是真命題，那么這個逆命題就是原定理的逆定理。這兩個定理互逆的。 公理是數(shù)學(xué)中最基本的命題，它們在理論形式上，是邏輯推論的大前提，是數(shù)學(xué)需要作為自己出發(fā)點的少數(shù)思想上的規(guī)定，其真實性不是由邏輯證明來確定的而是不證自明的。 3.充分條件、必要條件和充要條件 如果命題“A”為真，即A（命題中的假設(shè)）就叫做使B（結(jié)論）成立的充分條件。 如果命題“”為真，（原命題中的題設(shè)的否題設(shè)）為真，那么A（原命題中的題設(shè)）就叫做使B（原命題中的結(jié)論的否結(jié)論）成立的必要條件。 如果命題“A”為真，那么A就叫做使B成立的充分必要條件，或者簡稱為充要條件；這時B也是A成立的充要條件。 4.同一原理 當(dāng)一個命題的條件和結(jié)論都唯一存在，它們所指的概念是同一概念時，這個命題和它的逆命題等效，這個道理叫做同一原理。同一原理是間接證明方法中同一法的邏輯根據(jù)。 三、數(shù)學(xué)證明 證明是引用一些真實的命題，來確定某一命題真實性的思維形式。 證明由論題、論據(jù)和論證三部分組成。 論題是指需要確定其真實性的那些命題。（通常寫的“已知”、“求證”、“證明”中的“求證”部分） 論據(jù)是指被用來作為證明的理由。數(shù)學(xué)中的公理、定義、定理、推論、公式、性質(zhì)等，都可以作為證明的論據(jù)。 論證就是證明的過程。是指從論據(jù)推出論題的過程，它表明論據(jù)和論題必然的邏輯聯(lián)系。證明過程其實也是推理過程，就是把論據(jù)作為推理的前提，應(yīng)該用正確的推理形式推出論題的過程。 證明的過程在思維的過程中，可以從不同的角度出發(fā)，從而得出不同的證明方法，則有演繹證法與歸納證法、分析法與綜合法及直接證法與間接證法。 1.演繹證法與歸納證法 任何證明都是特殊形式的推理，因此按推理的方法，證明可分為演繹證法與歸納證法兩種。 用演繹證明來證明論題的方法，叫做演繹證法（三段論） 例4. 在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊CD，AD的中點。求證：AE=CF。 用歸納推理來證明論題的方法，叫做歸納證法。歸納證法可分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。 完全歸納法又稱枚舉歸納法。通過對命題條件的一切可能情形的論證，從而確定命題真實性的證明方法。枚舉歸納法應(yīng)用于證明這樣的命題，當(dāng)條件的性質(zhì)或關(guān)系發(fā)生變化時，其證明的理由也隨之有所不同。其步驟是先對命題條件的一切可能情形逐一加以論證，然后總括起來斷言命題普遍成立。在應(yīng)用此法時，必須把各種可能情形作適當(dāng)?shù)姆诸?，注意做到不遺漏、不重復(fù)。 例5.將17分解成若干個自然數(shù)之和，使它們的積最大。 例6.求函數(shù) 在 不完全歸納法，通過對命題條件的一部分進行研究，從而推斷命題的一般結(jié)論的論證法。它所得到的結(jié)論有時是不可靠的。因此，常常成為“猜想”，猜想則必須用其它方法去證明它或者推翻它。若猜想具有遞推性，我們就能將內(nèi)部成立的結(jié)論推廣到一般。 例7.在三角形ABC的內(nèi)部有點P,Q,R……，與三角形兩個頂點B,C圍成一個凸多邊形，試比較這個凸多邊形的周長和三角形ABC的周長的大小。 例8.法國數(shù)學(xué)家費馬提出一個計算素數(shù)的公式： 。同時有人提出： 也是素數(shù)計算公式。請問這兩個公式正確嗎？ 2.分析法與綜合法 對于一個命題的證明，不論用演繹法還是用歸納法，都有一個然后思維的方法問題，根據(jù)思維時推理序列的不同方向，證明方法可分為分析法和綜合法兩種。 分析法是從特征的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到命題的已知條件。 綜合法是從命題的已知出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后達到待證的結(jié)論。 例9.在 DE=b, BE=c. 求證:一元二次方程 分析法的特點是探果索因，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。其逐步推理實際上尋找它的充分條件；綜合法的特點是由因?qū)Ч?，即從“已知”逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是尋找它的必要條件。但是分析法書寫顯得冗長，有點別扭，而綜合法表述流暢。我們可以采用先用“分析法”尋找解題思路，再用“綜合法”有條理的表述解題過程。 3.直接證法與間接證法 直接證法是從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理、直接推斷結(jié)論的真實性。我們平時證題多數(shù)采用此法，不再舉例。 有些命題用直接證法比較困難，有的在待定的場合甚至找不到證明的依據(jù)。這時可以證明它的反論題(與原論題相矛盾的判斷)是假的，或考證它的等效命題，結(jié)果也能間接地達到目的。這種不是從正面證明論題真實性的方法叫做間接證法。間接證法有反證法和同一法兩種。 反證法的邏輯依據(jù)是排中律;兩個互相矛盾的判斷不能都是假的。 應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟是: （1）分清命題的條件和結(jié)論； （2）作出否定命題的結(jié)論，與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)； （3）由命題的條件所作的假定，應(yīng)用正確的推理方法導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，通常是指：推出結(jié)果與已知的公理、定義或定理矛盾；推出結(jié)果與已知條件矛盾；推出結(jié)果與所作的假設(shè)矛盾；推出互相矛盾的結(jié)果。 （4）斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在所作的與命題結(jié)論 相矛盾的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接證明了命題為真。 如果與命題結(jié)論相矛盾的方面只有一種情況，這時只要將這種情況予以否定，命題即被證明。這種反證法，又稱歸謬法 。 如果與命題結(jié)論相矛盾的方面不止一種情況。這時就需要將它們一一予以否定，命題才能得證，這種反證法，又稱窮舉法。 反證法常用于證明如下類型的命題：一個數(shù)學(xué)分支的某些起始命題；否定性命題；唯一性命題；以“至多”、“至少”、“無窮”等形式 出現(xiàn)的命題。 例10.試證明平面上任意三個整數(shù)點（坐標(biāo)都是整數(shù)的點）必不能組成等邊三角形。 同一法：對于條件和結(jié)論所確定的對象都唯一存在的命題。通過論證和它等效的逆命題的正確性，從而確認(rèn)原命題的真實性。同一法的理論根據(jù)是同一原理。 應(yīng)用同一法證明幾何命題的一般步驟是： （2） 作出符合條件的圖形； （3） 證明所給的圖形符合命題的條件； （3）根據(jù)由條件所確定的圖形的唯一性，斷定所作的圖形就是已知圖形 （4）斷定命題真實性。 例11.以正方形一邊為底 向形內(nèi)作一等腰三角形，若它的底角等于15 ，則將它的頂點與正方形另兩個頂點連接時，構(gòu)成一個等邊三角形 。 第 7 頁 共 7 頁