考研數(shù)學(xué)沖刺模擬卷(數(shù)學(xué)二） 答案與解析 一、選擇題：1~８小題，每題4分，共3２分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目規(guī)定的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上． （１)若函數(shù)在處持續(xù),則( ） (A）? ?(B)????(C)????（D) 【答案】Ａ． 【解析】在處持續(xù)選A． (２)設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)滿足且,則( ） (A) （Ｂ)　(C)　(D） 【答案】A. 【解析】為偶函數(shù)時(shí)滿足題設(shè)條件，此時(shí),排除Ｃ,D. 取滿足條件，則,選A. （3）設(shè)數(shù)列收斂，則( 　) (A)當(dāng)時(shí), (B）當(dāng)時(shí), （C)當(dāng)時(shí), (D)當(dāng)時(shí), 【答案】D． 【解析】特值法：(A）取,有，A錯(cuò); 取,排除B,C.因此選D. (4）微分方程的特解可設(shè)為（ 　　) (Ａ) 　 (B） (C） 　　　　　 （D） 【答案】C. 【解析】特性方程為:， 由于，故,選C． (５)設(shè)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的,均有，則 （A） （B) (C） (Ｄ) 【答案】C. 【解析】是有關(guān)的單調(diào)遞減函數(shù),是有關(guān)的單調(diào)遞增函數(shù), 因此有,故答案選C. （6）甲乙兩人賽跑,計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方1０（單位:ｍ)處，圖中實(shí)線表達(dá)甲的速度曲線(單位:),虛線表達(dá)乙的速度曲線,三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為１０，2０,3,計(jì)時(shí)開始后乙超過上甲的時(shí)刻記為(單位:ｓ),則( ） (A) ?? (B）　??(C)　? (Ｄ) 【答案】Ｄ. 【解析】從０到這段時(shí)間內(nèi)甲乙的位移分別為則乙要超過甲，則 ,當(dāng)時(shí)滿足,故選D． (7)設(shè)為階矩陣,且,則下列結(jié)論對(duì)的的是 (A)的任意階子式都不等于零 　 (B)的任意個(gè)列向量線性無關(guān) (C)方程組一定有無窮多解 　 　(D）矩陣通過初等行變換可化為 【答案】Ｃ． 【解析】對(duì)于選項(xiàng)C,因此選項(xiàng)C對(duì)的, 對(duì)于選項(xiàng)Ａ和B，r（A)=m,由秩的定義可得，存在一種m階行列式不為零，從而m階行列式所在的列向量組線性無關(guān),因此選項(xiàng)A和B不對(duì)的 對(duì)于選項(xiàng)Ｄ,矩陣通過初等行變換和列變換才可化為,因此選項(xiàng)D不對(duì)的 (8)設(shè)， 　，其中為任意實(shí)數(shù),則 （Ａ)必線性有關(guān) 　 　　 (Ｂ)必線性無關(guān) （C）必線性有關(guān)　 　 　 　　 (D）必線性無關(guān) 【答案】Ｄ. 【解析】 因此,從而選項(xiàng)Ａ和B均不對(duì)的 ,從而選項(xiàng)C不對(duì)的 運(yùn)用排除法可得對(duì)的答案為Ｄ 對(duì)于選項(xiàng)D,, 從而可得,因此必線性無關(guān) 二、填空題：９-14小題，每題4分,共2４分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上． (９) 曲線的斜漸近線方程為_____＿_(dá) 【答案】 【解析】 （10) 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程擬定,則___＿＿＿ 【答案】 【解析】 　(11） ___＿_(dá)__ 【答案】－１ 【解析】 （１2）　設(shè)函數(shù)具有一階持續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且，, 則. 【答案】. 【解析】故 , 因此,即，再由,可得 (１3)已知，則． 【答案】. 【解析】互換積分順序: ． （14)設(shè)為四維非零的正交向量，且，則的所有特性值為 　 　 ． 【答案】0,0,0,０ 【解析】設(shè)矩陣的特性值為,則的特性值為 由為四維非零的正交向量 從而 因此的特性值的特性值為 因此4階矩陣的4個(gè)特性值均為0. 三、解答題:15—23小題,共94分．請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上．解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)節(jié). （１５)（本題滿分1０分）求極限 【答案】． 【解析】,令，則有 (１６)(本題滿分１0分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足等式,若求函數(shù)的體現(xiàn)式． 【解析】(I)由于題目是驗(yàn)證，只要將二階偏導(dǎo)數(shù)求出來代入題目中給的等式就可以了 同理 代入,得 　　　 , 即 . 則相應(yīng)的特性方程為,,故. 由得,即 (17)(本題滿分10分)求 【答案】． 【解析】 原式＝. (18）(本題滿分10分）設(shè)函數(shù)持續(xù)，且.已知，求的值. 【解析】令，則,因此代入 得　 　 　 　　 　 將等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得 　 　　　　 　 化簡(jiǎn)得 令得，，化簡(jiǎn)得 （1９)（本題滿分１0分）設(shè)是區(qū)間上的任一非負(fù)持續(xù)函數(shù),在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且試證明在內(nèi)，存在唯一實(shí)根. 【解析】（1）要證，使;令,要證，使．可以對(duì)的原函數(shù)使用羅爾定理： ， 又由在持續(xù)在持續(xù)，在持續(xù),在可導(dǎo).根據(jù)羅爾定理，，使． (2) 由,知在內(nèi)單調(diào)增,故(1)中的是唯一的. （２0）（本題滿分1１分）已知平面區(qū)域計(jì)算二重積分。 【答案】． 【解析】 (21)(本題滿分１1分)設(shè)是區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),且，點(diǎn)是曲線L:　上任意一點(diǎn)，L在點(diǎn)P處的切線與ｘ軸相交于點(diǎn),法線與y軸相交于點(diǎn)，若，求Ｌ上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程。 【答案】 【解析】設(shè)的切線為，令得，法線，令得。由得,即。令,則,按照齊次微分方程的解法不難解出 ，故. (22)(本題滿分１1分)設(shè)均為四維列向量，,非齊次線性方程組的通解為 (Ⅰ)求方程組的通解； （Ⅱ)求方程組的通解. 【解析】(Ⅰ)由　的通解為 可得，即 因此可由線性表出,可由線性表出即可由線性表出 從而 因此方程組只有唯一解 ②+2①得 因此程組的唯一解為; 由(Ⅰ）可得可由線性表出， 可由線性表出 從而 因此 因此齊次線性方程組的基本解系中有2個(gè)線性無關(guān)的解向量，非齊次線性房出租有無窮多解 由（Ⅰ)中的 即 且線性無關(guān) 因此的基本解系為 由 可得的一種特解為 因此的通解為： ． (2３)（本題滿分11分)設(shè)二次型的 矩陣合同于． (Ⅰ）求常數(shù); （Ⅱ)用正交變換法化二次型為原則形. 【解析】（Ⅰ）此二次型相應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣 由于實(shí)對(duì)稱矩陣與合同 因此 而,解得　 (Ⅱ）　 解得矩陣的特性值為 當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組 解得相應(yīng)的一種線性無關(guān)的特性向量為 當(dāng)時(shí)，解解齊次線性方程組 解得相應(yīng)的一種線性無關(guān)的特性向量為 當(dāng)時(shí),解解齊次線性方程組 解得相應(yīng)的一種線性無關(guān)的特性向量為 由于矩陣有三個(gè)不同的特性值,因此三個(gè)特性值相應(yīng)的特性向量均正交 將單位化得 從而正交變換矩陣在正交變換,使得．