2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） （1）設(shè) 其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是_____. （2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為________. （3）設(shè)a>0，而D表示全平面，則=_______. （4）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ， 其中A的逆矩陣為B，則a=______. （5）設(shè)隨機(jī)變量X 和Y的相關(guān)系數(shù)為, 若，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為________. （6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)時(shí)，依概率收斂于______. 二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） （1）設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù) (A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點(diǎn)x=0. (C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點(diǎn)x=0. [ ] （2）設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是 (A) 在處的導(dǎo)數(shù)等于零. （B）在處的導(dǎo)數(shù)大于零. (C) 在處的導(dǎo)數(shù)小于零. (D) 在處的導(dǎo)數(shù)不存在. [ ] （3）設(shè)，，，則下列命題正確的是 (A) 若條件收斂，則與都收斂. (B) 若絕對(duì)收斂，則與都收斂. (C) 若條件收斂，則與斂散性都不定. (D) 若絕對(duì)收斂，則與斂散性都不定. [ ] （4）設(shè)三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有 (A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0. (C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. [ ] （5）設(shè)均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是 (A) 若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有 (C) 線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s. (D) 線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無關(guān). [ ] （6）將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：={擲第一次出現(xiàn)正面}，={擲第二次出現(xiàn)正面}，={正、反面各出現(xiàn)一次}，={正面出現(xiàn)兩次}，則事件 (A) 相互獨(dú)立. (B) 相互獨(dú)立. (C) 兩兩獨(dú)立. (D) 兩兩獨(dú)立. [ ] 三、（本題滿分8分） 設(shè) 試補(bǔ)充定義f(1)使得f(x)在上連續(xù). 四 、（本題滿分8分） 設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又,求 五、（本題滿分8分） 計(jì)算二重積分 其中積分區(qū)域D= 六、（本題滿分9分） 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值. 七、（本題滿分9分） 設(shè)F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件： ，，且f(0)=0, (1) 求F(x)所滿足的一階微分方程； (2) 求出F(x)的表達(dá)式. 八、（本題滿分8分） 設(shè)函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使 九、（本題滿分13分） 已知齊次線性方程組 其中 試討論和b滿足何種關(guān)系時(shí)， (1) 方程組僅有零解； (2) 方程組有非零解. 在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 十、（本題滿分13分） 設(shè)二次型 ， 中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12. (1) 求a,b的值； (2) 利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣. 十一、（本題滿分13分） 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù). 十二、（本題滿分13分） 設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為 ， 而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u). 2003年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） （1）設(shè) 其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是. 【分析】 當(dāng)0可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng)x=0時(shí)要求用定義求導(dǎo). 【詳解】 當(dāng)時(shí)，有 顯然當(dāng)時(shí)，有，即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù). （2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為 . 【分析】 曲線在切點(diǎn)的斜率為0，即，由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點(diǎn)處縱坐標(biāo)為零，即可找到與a的關(guān)系. 【詳解】 由題設(shè)，在切點(diǎn)處有 ，有 又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為0，于是有 , 故 【評(píng)注】 有關(guān)切線問題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時(shí)切點(diǎn)還應(yīng)滿足曲線方程. （3）設(shè)a>0，而D表示全平面，則= . 【分析】 本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)時(shí)，被積函數(shù)才不為零，因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可. 【詳解】 = = 【評(píng)注】 若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計(jì)算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可. （4）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ， 其中A的逆矩陣為B，則a= -1 . 【分析】 這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的結(jié)合律即可. 【詳解】 由題設(shè)，有 = = = =, 于是有 ，即 ，解得 由于A<0 ,故a=-1. （5）設(shè)隨機(jī)變量X 和Y的相關(guān)系數(shù)為, 若，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為 . 【分析】 利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可. 【詳解】 因?yàn)? = =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且 于是有 cov(Y,Z)== 【評(píng)注】 注意以下運(yùn)算公式：， （6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)時(shí)，依概率收斂于 . 【分析】 本題考查大數(shù)定律：一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng)方差一致有界時(shí)，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值： 【詳解】 這里滿足大數(shù)定律的條件，且=，因此根據(jù)大數(shù)定律有 依概率收斂于 二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） （1）設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù) (A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點(diǎn)x=0. (C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點(diǎn)x=0. [ D ] 【分析】 由題設(shè)，可推出f(0)=0 , 再利用在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論即可. 【詳解】 顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0. 于是有 存在，故x=0為可去間斷點(diǎn). 【評(píng)注1】 本題也可用反例排除，例如f(x)=x, 則此時(shí)g(x)=可排除(A),(B),(C) 三項(xiàng)，故應(yīng)選(D). 【評(píng)注2】 若f(x)在處連續(xù)，則. （2）設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是 (A) 在處的導(dǎo)數(shù)等于零. （B）在處的導(dǎo)數(shù)大于零. (C) 在處的導(dǎo)數(shù)小于零. (D) 在處的導(dǎo)數(shù)不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論. 【詳解】 可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知，即在處的導(dǎo)數(shù)等于零, 故應(yīng)選(A). 【評(píng)注1】 本題考查了偏導(dǎo)數(shù)的定義，在處的導(dǎo)數(shù)即；而在處的導(dǎo)數(shù)即 【評(píng)注2】 本題也可用排除法分析，取，在(0,0)處可微且取得極小值，并且有，可排除(B),(C),(D), 故正確選項(xiàng)為(A). （3）設(shè)，，，則下列命題正確的是 (A) 若條件收斂，則與都收斂. (B) 若絕對(duì)收斂，則與都收斂. (C) 若條件收斂，則與斂散性都不定. (D) 若絕對(duì)收斂，則與斂散性都不定. [ B ] 【分析】 根據(jù)絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可找出答案. 【詳解】 若絕對(duì)收斂，即收斂，當(dāng)然也有級(jí)數(shù)收斂，再根據(jù)，及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，與都收斂，故應(yīng)選(B). （4）設(shè)三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有 (A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0. (C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. [ C ] 【分析】 A的伴隨矩陣的秩為1, 說明A的秩為2，由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件. 【詳解】 根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系知，秩(A)=2，故有 ，即有或a=b. 但當(dāng)a=b時(shí)，顯然秩(A), 故必有 ab且a+2b=0. 應(yīng)選(C). 【評(píng)注】 n（n階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系： （5）設(shè)均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是 (A) 若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有 (C) 線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s. (D) 線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無關(guān). [ B ] 【分析】 本題涉及到線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無關(guān)的等價(jià)表現(xiàn)形式. 應(yīng)注意是尋找不正確的命題. 【詳解】(A): 若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù),都有 ，則必線性無關(guān)，因?yàn)槿艟€性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù),使得 ，矛盾. 可見（A）成立. (B): 若線性相關(guān)，則存在一組，而不是對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，都有 (B)不成立. (C) 線性無關(guān),則此向量組的秩為s；反過來，若向量組的秩為s，則線性無關(guān)，因此(C)成立. (D) 線性無關(guān),則其任一部分組線性無關(guān)，當(dāng)然其中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)，可見(D)也成立. 綜上所述，應(yīng)選(B). 【評(píng)注】 原命題與其逆否命題是等價(jià)的. 例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則線性相關(guān). 其逆否命題為：若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān). 在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價(jià)性. （6）將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：={擲第一次出現(xiàn)正面}，={擲第二次出現(xiàn)正面}，={正、反面各出現(xiàn)一次}，={正面出現(xiàn)兩次}，則事件 (A) 相互獨(dú)立. (B) 相互獨(dú)立. (C) 兩兩獨(dú)立. (D) 兩兩獨(dú)立. [ C ] 【分析】按照相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的定義進(jìn)行驗(yàn)算即可，注意應(yīng)先檢查兩兩獨(dú)立，若成立，再檢驗(yàn)是否相互獨(dú)立. 【詳解】 因?yàn)? ，，，， 且 ，，，， 可見有 ，，， ，. 故兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立；不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立，應(yīng)選(C). 【評(píng)注】 本題嚴(yán)格地說應(yīng)假定硬幣是均勻的，否則結(jié)論不一定成立. 三 、（本題滿分8分） 設(shè) 試補(bǔ)充定義f(1)使得f(x)在上連續(xù). 【分析】 只需求出極限，然后定義f(1)為此極限值即可. 【詳解】 因?yàn)? = = = = = 由于f(x)在上連續(xù)，因此定義 ， 使f(x)在上連續(xù). 【評(píng)注】 本題實(shí)質(zhì)上是一求極限問題，但以這種形式表現(xiàn)出來，還考查了連續(xù)的概念.在計(jì)算過程中，也可先作變量代換y=1-x，轉(zhuǎn)化為求的極限，可以適當(dāng)簡化. 四 、（本題滿分8分） 設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又,求 【分析】 本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題：，，直接利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可，注意利用 【詳解】 ， 故 ， 所以 = 【評(píng)注】 本題考查半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo). 五 、（本題滿分8分） 計(jì)算二重積分 其中積分區(qū)域D= 【分析】 從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)該利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算. 【詳解】 作極坐標(biāo)變換：，有 = 令，則 . 記 ，則 = = = = 因此 ， 【評(píng)注】 本題屬常規(guī)題型，明顯地應(yīng)該選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，在將二重積分化為定積分后，再通過換元與分步積分（均為最基礎(chǔ)的要求），即可得出結(jié)果，綜合考查了二重積分、換元積分與分步積分等多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn). 六、（本題滿分9分） 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值. 【分析】 先通過逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當(dāng)x=0時(shí)和為1. 求出和函數(shù)后，再按通常方法求極值. 【詳解】 上式兩邊從0到x積分，得 由f(0)=1, 得 令，求得唯一駐點(diǎn)x=0. 由于 ， 可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為 f(0)=1. 【評(píng)注】 求和函數(shù)一般都是先通過逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的幾何級(jí)數(shù)情形，然后再通過逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)等逆運(yùn)算最終確定和函數(shù). 七、（本題滿分9分） 設(shè)F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件： ，，且f(0)=0, (3) 求F(x)所滿足的一階微分方程； (4) 求出F(x)的表達(dá)式. 【分析】 F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對(duì)F(x)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程. 【詳解】 (1) 由 = = =(2-2F(x), 可見F(x)所滿足的一階微分方程為 (2) = = 將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是 【評(píng)注】 本題沒有直接告知微分方程，要求先通過求導(dǎo)以及恒等變形引出微分方程的形式，從題型來說比較新穎，但具體到微分方程的求解則并不復(fù)雜，仍然是基本要求的范圍. 八、（本題滿分8分） 設(shè)函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使 【分析】 根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點(diǎn)c，使得，然后在[c,3]上應(yīng)用羅爾定理即可. 條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價(jià)于，問題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達(dá)到目的. 【詳解】 因?yàn)閒(x)在[0，3]上連續(xù)，所以f(x)在[0，2]上連續(xù)，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是 ， ， . 故 由介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使 因?yàn)閒(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在，使 【評(píng)注】 介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是?？贾R(shí)點(diǎn)，且一般是兩兩結(jié)合起來考. 本題是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形. 九、（本題滿分13分） 已知齊次線性方程組 其中 試討論和b滿足何種關(guān)系時(shí)， (1) 方程組僅有零解； (2) 方程組有非零解. 在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 【分析】方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，問題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計(jì)算具有明顯的特征：所有列對(duì)應(yīng)元素相加后相等. 可先將所有列對(duì)應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第一行的（-1）倍加到其余各行，即可計(jì)算出行列式的值. 【詳解】 方程組的系數(shù)行列式 = (1) 當(dāng)時(shí)且時(shí)，秩(A)=n，方程組僅有零解. (2) 當(dāng)b=0 時(shí)，原方程組的同解方程組為 由可知，不全為零. 不妨設(shè)，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 ，， 當(dāng)時(shí)，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為 （將第1行的-1倍加到其余各行，再從第2行到第n行同乘以倍） （ 將第n行倍到第2行的倍加到第1行，再將第1行移到最后一行） 由此得原方程組的同解方程組為 ，， . 原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 【評(píng)注】 本題的難點(diǎn)在時(shí)的討論，事實(shí)上也可這樣分析：此時(shí)系數(shù)矩陣的秩為 n-1(存在n-1階子式不為零)，且顯然為方程組的一個(gè)非零解，即可作為基礎(chǔ)解系. 十、（本題滿分13分） 設(shè)二次型 ， 中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12. (3) 求a,b的值； (4) 利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣. 【分析】 特征值之和為A的主對(duì)角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b 的值；進(jìn)一步求出A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣. 【詳解】 （1）二次型f的矩陣為 設(shè)A的特征值為 由題設(shè)，有 ， 解得 a=1,b= -2. (2) 由矩陣A的特征多項(xiàng)式 ， 得A的特征值 對(duì)于解齊次線性方程組，得其基礎(chǔ)解系 ， 對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 由于已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得 ，， 令矩陣 ， 則Q為正交矩陣. 在正交變換X=QY下，有 ， 且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 【評(píng)注】 本題求a,b，也可先計(jì)算特征多項(xiàng)式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定： 二次型f的矩陣A對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式為 設(shè)A的特征值為，則由題設(shè)得 ， 解得a=1,b=2. 十一、（本題滿分13分） 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù). 【分析】 先求出分布函數(shù)F(x) 的具體形式，從而可確定Y=F(X) ,然后按定義求Y 的分布函數(shù)即可.注意應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍，再對(duì)y分段討論. 【詳解】 易見，當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=0; 當(dāng)x>8 時(shí)，F(xiàn)(x)=1. 對(duì)于，有 設(shè)G(y)是隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù). 顯然，當(dāng)時(shí)，G(y)=0；當(dāng)時(shí)，G(y)=1. 對(duì)于，有 = = 于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為 【評(píng)注】 事實(shí)上，本題X為任意連續(xù)型隨機(jī)變量均可，此時(shí)Y=F(X)仍服從均勻分布: 當(dāng)y<0時(shí)，G(y)=0; 當(dāng) 時(shí)，G(y)=1; 當(dāng) 0時(shí)， = = 十二、（本題滿分13分） 設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為 ， 而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u). 【分析】求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，一般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率. 注意X只有兩個(gè)可能的取值，求概率時(shí)可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算. 【詳解】 設(shè)F(y)是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為 = =. 由于X和Y獨(dú)立，可見 G(u)= = 由此,得U的概率密度 = 【評(píng)注】 本題屬新題型，求兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布，其中一個(gè)是連續(xù)型一個(gè)是離散型，要求用全概率公式進(jìn)行計(jì)算，類似問題以前從未出現(xiàn)過，具有一定的難度和綜合性. 2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） (1) 若，則a =______，b =______. (2) 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f [xg(y) , y] = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0，則. (3) 設(shè)，則. (4) 二次型的秩為 . (5) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則_______. (6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來自總體和的簡單隨機(jī)樣本, 則 . 二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） (7) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界. (A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 設(shè)f (x)在( , +)內(nèi)有定義，且， ，則 (A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn). (B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn). (C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn). (D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). [ ] (9) 設(shè)f (x) = |x(1 x)|，則 (A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). (B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). (C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). (D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). [ ] (10) 設(shè)有下列命題： (1) 若收斂，則收斂. (2) 若收斂，則收斂. (3) 若，則發(fā)散. (4) 若收斂，則，都收斂. 則以上命題中正確的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ] (11) 設(shè)在[a , b]上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 (A) 至少存在一點(diǎn)，使得> f (a). (B) 至少存在一點(diǎn)，使得> f (b). (C) 至少存在一點(diǎn)，使得. (D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0. [ D ] (12) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必有 (A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), . (C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), . [ ] (13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的 互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 (A) 不存在. (B) 僅含一個(gè)非零解向量. (C) 含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量. (D) 含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量. [ ] (14) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] 三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.) (15) (本題滿分8分) 求. (16) (本題滿分8分) 求，其中D是由圓和所圍成的 平面區(qū)域(如圖). (17) (本題滿分8分) 設(shè)f (x) , g(x)在[a , b]上連續(xù)，且滿足 ，x [a , b)，. 證明：. (18) (本題滿分9分) 設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 5P，其中價(jià)格P (0 , 20)，Q為需求量. (I) 求需求量對(duì)價(jià)格的彈性(> 0)； (II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)， 降低價(jià)格反而使收益增加. (19) (本題滿分9分) 設(shè)級(jí)數(shù) 的和函數(shù)為S(x). 求： (I) S(x)所滿足的一階微分方程； (II) S(x)的表達(dá)式. (20)(本題滿分13分) 設(shè), , , , 試討論當(dāng)為何值時(shí), (Ⅰ) 不能由線性表示; (Ⅱ) 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本題滿分13分) 設(shè)階矩陣 . (Ⅰ) 求的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩陣, 使得為對(duì)角矩陣. (22) (本題滿分13分) 設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件,且, , , 令 求 (Ⅰ) 二維隨機(jī)變量的概率分布; (Ⅱ) 與的相關(guān)系數(shù) ; (Ⅲ) 的概率分布. (23) (本題滿分13分) 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本, (Ⅰ) 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的矩估計(jì)量; (Ⅱ) 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量; (Ⅲ) 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量. 2004年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析 一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） (1) 若，則a =，b =. 【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題. 【詳解】因?yàn)?，且，所? ，得a = 1. 極限化為 ，得b = 4. 因此，a = 1，b = 4. 【評(píng)注】一般地，已知＝ A， (1) 若g(x) 0，則f (x) 0； (2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0. (2) 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f [xg(y) , y] = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0， 則. 【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可. 【詳解】令u = xg(y)，v = y，則f (u , v) =， 所以，，. (3) 設(shè)，則. 【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x 1 = t，再利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù) 的積分性質(zhì)即可. 【詳解】令x 1 = t， ＝. 【評(píng)注】一般地，對(duì)于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解. (4) 二次型的秩為 2 . 【分析】二次型的秩即對(duì)應(yīng)的矩陣的秩, 亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù), 于是利用初等變換 或配方法均可得到答案. 【詳解一】因?yàn)? 于是二次型的矩陣為 , 由初等變換得 , 從而 , 即二次型的秩為2. 【詳解二】因?yàn)? , 其中 . 所以二次型的秩為2. (5) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 . 【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案. 【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為 故 . 【評(píng)注】本題是對(duì)重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型. (6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布, 和 分別是來自總體和的簡單隨機(jī)樣本, 則 . 【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征即可得答案. 【詳解】因?yàn)?, , 故應(yīng)填 . 【評(píng)注】本題是對(duì)常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征的考查. 二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） (7) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界. (A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x) 在(a , b)內(nèi)有界. 【詳解】當(dāng)x 0 , 1 , 2時(shí)，f (x)連續(xù)，而，， ，，， 所以，函數(shù)f (x)在(1 , 0)內(nèi)有界，故選(A). 【評(píng)注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a , b]上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間[a , b]上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界. (8) 設(shè)f (x)在( , +)內(nèi)有定義，且， ，則 (A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn). (B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn). (C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn). (D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). [ D ] 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元， 可將極限轉(zhuǎn)化為. 【詳解】因?yàn)? a(令)，又g(0) = 0，所以， 當(dāng)a = 0時(shí)，，即g(x)在點(diǎn)x = 0處連續(xù)，當(dāng)a 0時(shí)， ，即x = 0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性 與a的取值有關(guān)，故選(D). 【評(píng)注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性. (9) 設(shè)f (x) = |x(1 x)|，則 (A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). (B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). (C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). (D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). [ C ] 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況， 考查f (x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷拐點(diǎn)情況. 【詳解】設(shè)0 < < 1，當(dāng)x ( , 0) (0 , )時(shí)，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x) 的極小值點(diǎn). 顯然，x = 0是f (x)的不可導(dǎo)點(diǎn). 當(dāng)x ( , 0)時(shí)，f (x) = x(1 x)，， 當(dāng)x (0 , )時(shí)，f (x) = x(1 x)，，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). 故選(C). 【評(píng)注】對(duì)于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷. (10) 設(shè)有下列命題： (1) 若收斂，則收斂. (2) 若收斂，則收斂. (3) 若，則發(fā)散. (4) 若收斂，則，都收斂. 則以上命題中正確的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ] 【分析】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來說明4個(gè)命題的正確性. 【詳解】(1)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，分散，而收斂. (2)是正確的，因?yàn)楦淖?、增加或減少級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的收斂性. (3)是正確的，因?yàn)橛煽傻玫讲悔呄蛴诹?n )，所以發(fā)散. (4)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，，都發(fā)散，而 收斂. 故選(B). 【評(píng)注】本題主要考查級(jí)數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型. (11) 設(shè)在[a , b]上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 (A) 至少存在一點(diǎn)，使得> f (a). (B) 至少存在一點(diǎn)，使得> f (b). (C) 至少存在一點(diǎn)，使得. (D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0. [ D ] 【分析】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng). 【詳解】首先，由已知在[a , b]上連續(xù)，且，則由介值定理， 至少存在一點(diǎn)，使得； 另外，，由極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn) 使得，即. 同理，至少存在一點(diǎn) 使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D). 【評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號(hào)性，有一定的難度. (12) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必有 (A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), . (C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), . [ D ] 【分析】 利用矩陣與等價(jià)的充要條件: 立即可得. 【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí), , 又 與等價(jià), 故, 即, 故選(D). 【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣等價(jià)、行列式的考查, 屬基本題型. (13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的 互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 (A) 不存在. (B) 僅含一個(gè)非零解向量. (C) 含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量. (D) 含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量. [ B ] 【分析】 要確定基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù), 實(shí)際上只要確定未知數(shù)的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩. 【詳解】 因?yàn)榛A(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)=, 而且 根據(jù)已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量, 即選(B). 【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查. (14) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ C ] 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性和幾何意義即得. 【詳解】 由, 以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得 . 故正確答案為(C). 【評(píng)注】本題是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴(yán)格地說它的上分位數(shù)概念的考查. 三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.) (15) (本題滿分8分) 求. 【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價(jià)無窮小與羅必達(dá)法則求解即可. 【詳解】 =. 【評(píng)注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對(duì)于“”型極限，應(yīng)充分利用等價(jià)無窮小替換來簡化計(jì)算. (16) (本題滿分8分) 求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖). 【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓 ，再利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算即可. 【詳解】令， 由對(duì)稱性，. . 所以，. 【評(píng)注】本題屬于在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的基本題型，對(duì)于二重積分，經(jīng)常利用對(duì)稱性及將一個(gè)復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個(gè)或三個(gè)簡單區(qū)域來簡化計(jì)算. (17) (本題滿分8分) 設(shè)f (x) , g(x)在[a , b]上連續(xù)，且滿足 ，x [a , b)，. 證明：. 【分析】令F(x) = f (x) g(x)，，將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式即可. 【詳解】令F(x) = f (x) g(x)，， 由題設(shè)G(x) 0，x [a , b]， G(a) = G(b) = 0，. 從而 ， 由于 G(x) 0，x [a , b]，故有 ， 即 . 因此 . 【評(píng)注】引入變限積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法. (18) (本題滿分9分) 設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 5P，其中價(jià)格P (0 , 20)，Q為需求量. (I) 求需求量對(duì)價(jià)格的彈性(> 0)； (II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加. 【分析】由于> 0，所以；由Q = PQ及可推導(dǎo) . 【詳解】(I) . (II) 由R = PQ，得 . 又由，得P = 10. 當(dāng)10 < P < 20時(shí)，> 1，于是， 故當(dāng)10 < P < 20時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加. 【評(píng)注】當(dāng)> 0時(shí)，需求量對(duì)價(jià)格的彈性公式為. 利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個(gè)常用的公式： ，，， (收益對(duì)價(jià)格的彈性). (19) (本題滿分9分) 設(shè)級(jí)數(shù) 的和函數(shù)為S(x). 求： (I) S(x)所滿足的一階微分方程； (II) S(x)的表達(dá)式. 【分析】對(duì)S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達(dá)式. 【詳解】(I) ， 易見 S(0) = 0， . 因此S(x)是初值問題 的解. (II) 方程的通解為 ， 由初始條件y(0) = 0，得C = 1. 故，因此和函數(shù). 【評(píng)注】本題綜合了級(jí)數(shù)求和問題與微分方程問題，2002年考過類似的題. (20)(本題滿分13分) 設(shè), , , , 試討論當(dāng)為何值時(shí), (Ⅰ) 不能由線性表示; (Ⅱ) 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】將可否由線性表示的問題轉(zhuǎn)化為線性方程組 是否有解的問題即易求解. 【詳解】 設(shè)有數(shù)使得 . (*) 記. 對(duì)矩陣施以初等行變換, 有 . (Ⅰ) 當(dāng)時(shí), 有 . 可知. 故方程組(*)無解, 不能由線性表示. (Ⅱ) 當(dāng), 且時(shí), 有 , 方程組(*)有唯一解： , , ． 此時(shí)可由唯一地線性表示, 其表示式為 ． (Ⅲ) 當(dāng)時(shí), 對(duì)矩陣施以初等行變換, 有 ， , 方程組(*)有無窮多解，　其全部解為 , , ， 其中為任意常數(shù)． 可由線性表示, 但表示式不唯一,　其表示式為 ． 【評(píng)注】本題屬于常規(guī)題型, 曾考過兩次(1991, 2000). (21) (本題滿分13分) 設(shè)階矩陣 . (Ⅰ) 求的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩陣, 使得為對(duì)角矩陣. 【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算問題, 通?？捎汕蠼馓卣鞣匠? 和齊次線性方程組來解決. 【詳解】　(Ⅰ) 　當(dāng)時(shí)， ＝ , 得的特征值為，． 對(duì)， 解得，所以的屬于的全部特征向量為 　　　　　　(為任意不為零的常數(shù))． 對(duì)， 得基礎(chǔ)解系為 ，，． 故的屬于的全部特征向量為 　　　　　　(是不全為零的常數(shù))． 當(dāng)時(shí)， , 特征值為，任意非零列向量均為特征向量． (Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，令，則 當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意可逆矩陣, 均有 ． 【評(píng)注】本題通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計(jì)算, 齊次線性方程組的求解和矩陣的對(duì)角化等問題, 屬于有一點(diǎn)綜合性的試題. 另外,本題的解題思路是容易的, 只要注意矩陣中含有一個(gè)未知參數(shù), 從而一般要討論其不同取值情況. (22) (本題滿分13分) 設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件,且, , , 令 求 (Ⅰ) 二維隨機(jī)變量的概率分布; (Ⅱ) 與的相關(guān)系數(shù) ; (Ⅲ) 的概率分布. 【分析】本題的關(guān)鍵是求出的概率分布，于是只要將二維隨機(jī)變量的各取值對(duì)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事件和表示即可． 【詳解】 (Ⅰ) 因?yàn)?，　于是　， 則有　， ， ， ， ( 或　)， 即的概率分布為： 0 1 0 1 (Ⅱ)　方法一：因?yàn)椤?，，? ，， ，， 　　　　　　， 所以與的相關(guān)系數(shù) 　?。? 方法二： X, Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，，DY=, E(XY)=, 故 ，從而 (Ⅲ) 的可能取值為：0，1，2 ． ， ， ， 即的概率分布為： 0 1 2 【評(píng)注】本題考查了二維離散隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布，數(shù)字特征和二維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布等計(jì)算問題，屬于綜合性題型 (23) (本題滿分13分) 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本, (Ⅰ) 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的矩估計(jì)量; (Ⅱ) 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量; (Ⅲ) 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量. 【分析】本題是一個(gè)常規(guī)題型, 只要注意求連續(xù)型總體未知參數(shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都須已知密度函數(shù), 從而先由分布函數(shù)求導(dǎo)得密度函數(shù). 【詳解】 當(dāng)時(shí), 的概率密度為 (Ⅰ) 由于 令 , 解得 , 所以, 參數(shù)的矩估計(jì)量為 . (Ⅱ) 對(duì)于總體的樣本值, 似然函數(shù)為 當(dāng)時(shí), , 取對(duì)數(shù)得 , 對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得 　　　　　， 令　，　解得　， 于是的最大似然估計(jì)量為 　　 ． ( Ⅲ) 當(dāng)時(shí), 的概率密度為 對(duì)于總體的樣本值, 似然函數(shù)為 當(dāng)時(shí), 越大，越大, 即的最大似然估計(jì)值為 　　　　　, 于是的最大似然估計(jì)量為 ． 2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） （1）極限= . （2） 微分方程滿足初始條件的特解為______. （3）設(shè)二元函數(shù)，則________. （4）設(shè)行向量組，，，線性相關(guān)，且，則a=_____. （5）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X, 再從中任取一個(gè)數(shù)，記為Y, 則 =______. （6）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 a 1 b 已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則a= ， b= . 二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） （7）當(dāng)a取下列哪個(gè)值時(shí)，函數(shù)恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn). (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）設(shè),,,其中 ，則 (A) . （B）. (C) . (D) . [ ] （9）設(shè)若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是 (A) 收斂，發(fā)散 . （B） 收斂，發(fā)散. (C) 收斂. (D) 收斂. [ ] （10）設(shè),下列命題中正確的是 (A) f(0)是極大值，是極小值. （B） f(0)是極小值，是極大值. （C） f(0)是極大值，也是極大值. (D) f(0)是極小值，也是極小值. [ ] （11）以下四個(gè)命題中，正確的是 (A) 若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （B）若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （C）若在（0，1）內(nèi)有界，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. (D) 若在（0，1）內(nèi)有界，則在（0，1）內(nèi)有界. [ ] （12）設(shè)矩陣A= 滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉(zhuǎn)置矩陣. 若為三個(gè)相等的正數(shù)，則為 (A) . (B) 3. (C) . (D) . [ ] （13）設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] （14） 設(shè)一批零件的長度服從正態(tài)分布，其中均未知. 現(xiàn)從中隨機(jī)抽取16個(gè)零件，測得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則的置信度為的置信區(qū)間是 (A) (B) (C)(D) [ ] 三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） （15）（本題滿分8分） 求 （16）（本題滿分8分） 設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求 （17）（本題滿分9分） 計(jì)算二重積分，其中. （18）（本題滿分9分） 求冪級(jí)數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x). （19）（本題滿分8分） 設(shè)f(x),g(x)在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,,.證明：對(duì)任何a,有 （20）（本題滿分13分） 已知齊次線性方程組 （i） 和 （ii） 同解，求a,b, c的值. （21）（本題滿分13分） 設(shè)為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對(duì)稱矩陣，C為矩陣. (I) 計(jì)算，其中； （II）利用(I)的結(jié)果判斷矩陣是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論. （22）（本題滿分13分） 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II） 的概率密度 ( III ) （23）（本題滿分13分） 設(shè)為來自總體N(0,)的簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，記 求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差 （III）若是的無偏估計(jì)量，求常數(shù)c. 2005年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） （1）極限= 2 . 【分析】 本題屬基本題型，直接用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行計(jì)算即可. 【詳解】 = （2） 微分方程滿足初始條件的特解為 . 【分析】 直接積分即可. 【詳解】 原方程可化為 ，積分得 ， 代入初始條件得C=2，故所求特解為 xy=2. （3）設(shè)二元函數(shù)，則 . 【分析】 基本題型，直接套用相應(yīng)的公式即可. 【詳解】 , , 于是 . （4）設(shè)行向量組，，，線性相關(guān)，且，則a= . 【分析】 四個(gè)4維向量線性相關(guān)，必有其對(duì)應(yīng)行列式為零，由此即可確定a. 【詳解】 由題設(shè)，有 , 得，但題設(shè)，故 （5）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X, 再從中任取一個(gè)數(shù)，記為Y, 則 = . 【分析】 本題涉及到兩次隨機(jī)試驗(yàn)，想到用全概率公式, 且第一次試驗(yàn)的各種兩