歷年考研數(shù)學(xué)真題及解析 一.選擇題 1. 若則= A0 B1 C2 D3 2. 設(shè)是一階線性非齊次微分方程的兩個特解，若常數(shù)使是該方程的解，是該方程對應(yīng)的齊次方程的解，則 A B C D 3. 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且若是g(x)的極值，則f(g(x))在取極大值的一個充分條件是 A B C D 4設(shè)則當(dāng)x充分大時有 Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x) 5設(shè)向量組，下列命題正確的是： A若向量組I線性無關(guān)，則 B若向量組I線性相關(guān)，則r>s C若向量組II線性無關(guān)，則 D若向量組II線性相關(guān)，則r>s 6. 設(shè)A為4階實對稱矩陣，且，若A的秩為3，則A相似于 A B C D 7. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)，則P（X=1)= A0 B C D 8. 設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度，為[-1,3]上均勻分布的概率密度，若為概率密度，則a,b滿足： A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空題 9. 設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=y(x),由方程確定，則 10. 設(shè)位于曲線下方，x軸上方的無界區(qū)域為G，則G繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積為____________ 11. 設(shè)某商品的收益函數(shù)R(p),收益彈性為，其中p為價格，且R(1)=1,則R(p)=________________ 12. 若曲線有拐點(-1,0),則b=_____________ 13. 設(shè)A，B為3階矩陣，且，則 14. 設(shè) 三.解答題 15. 求極限 16. 計算二重積分，其中D由曲線與直線。 17. 求函數(shù)u=xy+2yz在約束條件下的最大值和最小值。 18. （1） 比較的大小，說明理由。 （2） 記,求極限 19. 設(shè)f(x)在[0,3]上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且 （1） 證明：存在 （2） 證明：存在 20 . 21. 設(shè)，正交矩陣Q使得為對角矩陣，若Q的第一列為，求a、Q. 22. 設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為求常數(shù)A及條件概率密度 23. 箱中裝有6個球，其中紅、白、黑球的個數(shù)分別為1，2，3個。現(xiàn)從箱中隨機地取出2個球，記X為取出的紅球個數(shù)，Y為取出的白球個數(shù)。 （1） 求隨機變量（X,Y）的概率分布； （2） 求Cov（X,Y）. 2010年考研數(shù)學(xué)三之答案與解析 答案：CABC ADCA 9. -1 10. 11 12.3 13.3 14. 三解答題 15. 解： 16. 解: 17.解： 18. 19. 20.解： 21 22. 23. 解： （1） 隨機變量（X，Y）的概率分布為： X Y 0 1 2 0 1/5 2/5 1/15 1 1/5 2/15 0 (2) 2011年考研數(shù)學(xué)三試題及解析 一、選擇題(1～8小題，每小題4分，共32分．下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上．) (1) 已知當(dāng)時，與是等價無窮小，則( ) (A) . (B) . (C) . (D) . (2) 已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則=( ) (A) 2. (B) . (C) . (D) . (3) 設(shè)是數(shù)列，則下列命題正確的是( ) (A) 若收斂，則收斂. (B) 若收斂，則收斂. (C) 若收斂，則收斂. (D) 若收斂，則收斂. (4) 設(shè)，，，則的大小關(guān)系是( ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (5) 設(shè)為3階矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣，記，，則( ) (A) ． 　　 (B) ． 　　 (C) ． (D) ． (6) 設(shè)為矩陣，是非齊次線性方程組的個線性無關(guān)的解，為任意常數(shù)，則的通解為( ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (7) 設(shè)，為兩個分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度，是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是( ) (A) ． 　　 (B) ． (C) ． 　　(D) ． (8) 設(shè)總體服從參數(shù)為的泊松分布，為來自總體的簡單隨機樣本，則對應(yīng)的統(tǒng)計量 ( ) (A) ，． (B) ，． (C) ，． (D) ，． 二、填空題(9～14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上．) (9) 設(shè)，則 . (10) 設(shè)函數(shù)，則 . (11) 曲線在點處的切線方程為 . (12) 曲線，直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 . (13) 設(shè)二次型的秩為1，的各行元素之和為3，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ． (14) 設(shè)二維隨機變量服從正態(tài)分布，則= ． 三、解答題(15～23小題，共94分．請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．) (15) (本題滿分10分) 求極限． (16) (本題滿分10分) 已知函數(shù)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，是的極值，，求. (17) (本題滿分10分) 求. (18) (本題滿分10分) 證明恰有2實根. (19) (本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，且, ，求的表達式. (20) (本題滿分11分) 設(shè)向量組，不能由向量組，，線性表示． (I) 求的值； (II) 將由線性表示． (21) (本題滿分11分) 為三階實對稱矩陣，的秩為2，即，且． (I) 求的特征值與特征向量； (II) 求矩陣． (22) (本題滿分11分) 設(shè)隨機變量與的概率分布分別為 1 且． (Ｉ)求二維隨機變量的概率分布； (II)求的概率分布； (III)求與的相關(guān)系數(shù)． (23) (本題滿分11分) 設(shè)二維隨機變量服從區(qū)域上的均勻分布，其中是由與所圍成的區(qū)域． (I)求邊緣概率密度； (II)求條件密度函數(shù)． 2011年考研數(shù)學(xué)三試題答案 一、選擇題(1～8小題，每小題4分，共32分．下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上．) (1)【答案】(C)． 【解析】因為 ． 所以，故答案選(C). (2)【答案】(B)． 【解析】 ． 故答案選(B). (3)【答案】(A). 【解析】方法1：數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)：收斂級數(shù)任意添加括號后仍收斂，故(A)正確. 方法2：排除法，舉反例． 選項(B)取，這時收斂，但發(fā)散，故選項(B)錯誤； 選項(C)取，這時收斂，但發(fā)散，故選項(C)錯誤； 選項(D)取，這時收斂，但發(fā)散，故選項(D)錯誤．故正確答案為(A). (4)【答案】(B)． 【解析】因為時， ， 又因是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以． 故正確答案為(B)． (5)【答案】 (D)． 【解析】由于將的第2列加到第1列得矩陣，故 ， 即，． 由于交換的第2行和第3行得單位矩陣，故 ， 即故．因此，，故選(D)． (6)【答案】(C)． 【解析】由于是的3個線性無關(guān)的解，所以是的兩個線性無關(guān)的解，即的基礎(chǔ)解系中至少有2個線性無關(guān)的解，所以可排除(A)、(B)選項． 又因為，所以是的解，不是的解，故排除(D)選項，因此選(C)． 事實上，由于是的三個線性無關(guān)的解，所以是的兩個線性無關(guān)的解，即的基礎(chǔ)解系中至少有2個線性無關(guān)的解，亦即，故．由于，所以，故．這樣，的基礎(chǔ)解系中正好有2個線性無關(guān)的解，由此知是的一個基礎(chǔ)解系． 因為是的解，所以，因此，所以是的一個特解． 由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，可知的通解為 ． (7)【答案】(D)． 【解析】選項(D) ． 所以為概率密度. (8)【答案】(D)． 【解析】因為， 所以，，從而有 ． 因為，所以． 又因為 ． ． 由于當(dāng)時， ，所以． 二、填空題(9～14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上．) (9)【答案】. 【解析】因為， 所以，. (10)【答案】. 【解析】, ,， 所以，，， 從而 或. (11)【答案】. 【解析】方程的兩端對求導(dǎo)，有 ， 將代入上式，有，解得， 故切線方程為：. (12) 【答案】. 【解析】如圖２所示： x 2 y 1 0 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 圖２ (13)【答案】． 【解析】因為的各行元素之和為3，所以，故3為矩陣的特征值． 由知矩陣有兩個特征值為零，從而． 由于二次型在正交變換下標(biāo)準(zhǔn)形前面的系數(shù)即為二次型所對應(yīng)矩陣的特征值，所以二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為． (14)【答案】． 【解析】根據(jù)題意，二維隨機變量服從．因為，所以由二維正態(tài)分布的性質(zhì)知隨機變量獨立，所以．從而有 ． 三、解答題(15～23小題，共94分．請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．) (15) (本題滿分10分) 【解析】 (16) (本題滿分10分) 【解析】 由于為的極值，故， 所以， (17) (本題滿分10分) 【解析】令，則,，所以 (18) (本題滿分10分) 【解析】設(shè)， 則 ， 令，解得駐點. 所以，當(dāng)時，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故單調(diào)遞減. 又當(dāng)時，且，故時只有一個零點； 又，，由零點定理可知，存在，使； 所以，方程恰有兩實根. (19) (本題滿分10分) 【解析】， 由題設(shè)有 ， 上式兩端求導(dǎo)，整理得 ， 為變量可分離微分方程，解得， 帶入，得. 所以，. (20) (本題滿分11分) 【解析】(I)由于不能由線性表示，對進行初等行變換： ． 當(dāng)時，，此時，不能由線性表示，故不能由線性表示． (II)對進行初等行變換： ， 故，，． (21) (本題滿分11分) 【解析】(I)由于，設(shè)，則 ，即，而，知的特征值為，對應(yīng)的特征向量分別為，． 由于，故，所以． 由于是三階實對稱矩陣，故不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交，設(shè)對應(yīng)的特征向量為，則 即 解此方程組，得，故對應(yīng)的特征向量為． (II) 由于不同特征值對應(yīng)的特征向量已經(jīng)正交，只需單位化： ． 令，則， ． (22) (本題滿分11分) 【解析】(I)因為，所以． 即 ． 利用邊緣概率和聯(lián)合概率的關(guān)系得到 ； ； ． -1 0 1 0 1/3 0 1 0 1/3 0 1/3 即的概率分布為 (II)的所有可能取值為． ． ． ． 的概率分布為 Z -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 (III)因為， 其中 ，． 所以，即，的相關(guān)系數(shù)． (23) (本題滿分11分) 【解析】二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為 (Ｉ)當(dāng)時，． 當(dāng)時，． 的邊緣概率密度為 (II)當(dāng)時，的邊緣概率密度為． 當(dāng)時，有意義，條件概率密度 2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題解析 一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. （1）曲線漸近線的條數(shù)為（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則 （A） （B） （C） （D） （3）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分=（ ） （A） （B） （C） （D） （4）已知級數(shù)絕對收斂，條件收斂，則范圍為（ ） （A） （B） （C） （D） （5）設(shè)其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ ） （A） （B） （C） （D） （6）設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，，則（ ） （A） （B） （C） （D） （7）設(shè)隨機變量與相互獨立，且都服從區(qū)間上的均勻分布，則（ ） （A） （B） （C） （D） （8）設(shè)為來自總體的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量的分布（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上. （9）________。 （10）設(shè)函數(shù)，求________。 （11） 函數(shù)滿足，則 （12） 由曲線和直線及在第一象限中所圍圖形的面積為？ （13）設(shè)為3階矩陣，,為的伴隨矩陣，若交換的第一行與第二行得到矩陣,則________。 （14）設(shè)是隨機事件，互不相容，,,則________。 三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （15）（本題滿分10分） 計算 （16）（本題滿分10分） 計算二重積分，其中D為由曲線與所圍區(qū)域。 （17）（本題滿分10分）某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號的產(chǎn)品，投入的固定成本為10000（萬元），設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x（件）和（y件），且固定兩種產(chǎn)品的邊際成本分別為（萬元/件）與（萬元/件）。 1）求生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù)(萬元) 2）當(dāng)總產(chǎn)量為50件時，甲乙兩種的產(chǎn)量各為多少時可以使總成本最小？求最小的成本。 3）求總產(chǎn)量為50件時且總成本最小時甲產(chǎn)品的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟意義。 （18）（本題滿分10分） 證明： （19）（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足方程及 1）求表達式 2）求曲線的拐點 （20）（本題滿分10分） 設(shè)， （Ⅰ）求 （Ⅱ）已知線性方程組有無窮多解，求，并求的通解。 （21）（本題滿分10分）三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置，已知，且二次型。 1）求 2）求二次型對應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換過程。 （22）（本題滿分10分） 已知隨機變量以及的分布律如下表所示， X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 求：（1）； （2）與. （23）（本題滿分10分） 設(shè)隨機變量和相互獨立，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，. 求（1）隨機變量的概率密度； （2） . 2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題解析 一、 選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. （1）【答案】： 【解析】：，所以為垂直的 ，所以為水平的，沒有斜漸近線 故兩條選 （2） 【答案】： （3） 所以 （3）【答案】：（B） 【解析】：由解得的下界為，由解得的上界為.故排除答案（C）（D）. 將極坐標(biāo)系下的二重積分化為型區(qū)域的二重積分得到被積函數(shù)為，故選（B）. （4）【答案】：（D） 【解析】：考察的知識點是絕對收斂和條件收斂的定義及常見的級數(shù)的收斂性結(jié)論. 絕對收斂可知；條件收斂可知，故答案為（D） （5）【答案】：（C） 【解析】：由于，可知線性相關(guān)。故選（C） （6）【答案】：（B） 【解析】：，則， 故 故選（B）。 （7）【答案】：（D） 【解析】：由題意得， ，其中表示單位圓在第一象限的部分，被積函數(shù)是，故根據(jù)二重積分的幾何意義，知，故選（D）. （8）【答案】：（B） 【解析】：從形式上，該統(tǒng)計量只能服從分布。故選。 具體證明如下：，由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，與均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且相互獨立，可知。 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上. （9）【答案】： 【解析】： = = = = = 所以= （10）【答案】： 【解析】： 由的表達式可知，可知 （11）【答案】： 【解析】：由題意可知分子應(yīng)為分母的高階無窮小，即， 所以，，故 （12） 【答案】： 【解析】：被積函數(shù)為1的二重積分來求，所以 （13）【答案】：-27 【解析】：由于，故， 所以，. （14）【答案】： 【解析】：由條件概率的定義，， 其中， ，由于互不相容，即，，又 ，得，代入得，故. 三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （15）【解析】： （16）（本題滿分10分） y O 1 x 解析】：由題意知，區(qū)域，如圖所示所以 （17）【解析】：1）設(shè)成本函數(shù)為，由題意有：， 對x積分得，， 再對y求導(dǎo)有，， 再對y積分有， 所以， 又，故，所以 2）若，則，代入到成本函數(shù)中，有 所以，令，得，這時總成本最小 3）總產(chǎn)量為50件且總成本最小時甲產(chǎn)品的邊際成本為，表示在要求總產(chǎn)量為50件時，在甲產(chǎn)品為24件，這時要改變一個單位的產(chǎn)量，成本會發(fā)生32萬元的改變。 （18）【解析】：令，可得 當(dāng)時，有，，所以， 故，而，即得 所以。 當(dāng)，有，，所以， 故，即得 可知， （19）【解析】： 1）特征方程為，特征根為，齊次微分方程的通解為.再由得，可知。 故 2）曲線方程為，則， 令得。為了說明是唯一的解，我們來討論在和時的符號。 當(dāng)時，，可知；當(dāng)時，，可知?？芍俏ㄒ坏慕狻? 同時，由上述討論可知曲線在左右兩邊的凹凸性相反，可知點是曲線唯一的拐點。 （20）【解析】：（Ⅰ） （Ⅱ） 可知當(dāng)要使得原線性方程組有無窮多解，則有及，可知。 此時，原線性方程組增廣矩陣為，進一步化為行最簡形得 可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，非齊次方程的特解為，故其通解為 線性方程組存在2個不同的解，有. 即：，得或-1. 當(dāng)時, ，顯然不符，故. （21）【解析】：1）由可得， 2） 則矩陣 解得矩陣的特征值為： 對于得對應(yīng)的特征向量為： 對于得對應(yīng)的特征向量為： 對于得對應(yīng)的特征向量為： 將單位化可得： ，， （22）【解析】： X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 （1） （2） ， 其中 , 所以，，，,. （23）【解析】： （1）概率密度為分布函數(shù)為和同分布. 由，， 而獨立，故上式等于 故 （2）同理，的概率密度為： ，， 所以. 2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. （1）當(dāng)時，用表示比高階的無窮小，則下列式子中錯誤的是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （3）設(shè)是圓域位于第象限的部分，記，則（ ） （A） （B） （C） （D） （4）設(shè)為正項數(shù)列，下列選項正確的是（ ） （A）若收斂 （B）收斂，則 （C）收斂，則存在常數(shù),使存在 （D）若存在常數(shù)，使存在，則收斂 （5）設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若 （A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價 （B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價 （C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價 （D）矩陣C的行向量組與矩陣B的列向量組等價 （6）矩陣與相似的充分必要條件為 （A） （B） （C） （D） （7）設(shè)是隨機變量，且, 則（ ） （A） （B） （C） （D） （8）設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，則X和Y的概率分布分別為， 則 ( ) （A） （B） （C） （D） 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上. （9）設(shè)曲線和在點處有公共的切線，則________。 （10）設(shè)函數(shù)由方程確定，則________。 （11）求________。 （12）微分方程通解為________。 （13）設(shè)是三階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，若 （14）設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則= ________。 三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （15）（本題滿分10分） 當(dāng)時，與為等價無窮小，求與的值。 （16）（本題滿分10分） 設(shè)是由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形，分別是繞軸，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若，求的值。 （17）（本題滿分10分） 設(shè)平面內(nèi)區(qū)域由直線及圍成.計算。 （18）（本題滿分10分） 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為6000元，可變成本為20元/件，價格函數(shù)為，（P是單價，單位：元，Q是銷量，單位：件），已知產(chǎn)銷平衡，求： （1）該商品的邊際利潤。 （2）當(dāng)P=50時的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟意義。 （3）使得利潤最大的定價P。 （19）（本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，，證明 （1）存在，使得 （2）對（1）中的，存在使得 （20）（本題滿分11分） 設(shè)，當(dāng)為何值時，存在矩陣使得，并求所有矩陣。 （21）（本題滿分11分） 設(shè)二次型，記。 （I）證明二次型對應(yīng)的矩陣為； （II）若正交且均為單位向量，證明二次型在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型。 （22）（本題滿分11分） 設(shè)是二維隨機變量，的邊緣概率密度為，在給定的條件下，的條件概率密度 （1） 求的概率密度； （2） 的邊緣概率密度. （23）（本題滿分11分） 設(shè)總體的概率密度為其中為未知參數(shù)且大于零，為來自總體的簡單隨機樣本. （1）求的矩估計量； （2）求的最大似然估計量. 2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題答案 一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. （1）當(dāng)時，用表示比高階的無窮小，則下列式子中錯誤的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】，故D錯誤。 （2）函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C 【解析】由題意可知的間斷點為。又 故的可去間斷點有2個。 （3）設(shè)是圓域位于第象限的部分，記，則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】令，則有 故當(dāng)時，，此時有故正確答案選B。 （4）設(shè)為正項數(shù)列，下列選項正確的是（ ） （A）若收斂 （B）收斂，則 （C）收斂，則存在常數(shù),使存在 （D）若存在常數(shù)，使存在，則收斂 【答案】D 【解析】根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法，當(dāng)時，，且存在，則與同斂散，故收斂. （5）設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若，且可逆，則（ ） （A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價 （B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價 （C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價 （D）矩陣C的行向量組與矩陣B的列向量組等價 【答案】（B） 【解析】由可知C的列向量組可以由A的列向量組線性表示，又B可逆，故有，從而A的列向量組也可以由C的列向量組線性表示，故根據(jù)向量組等價的定義可知正確選項為（B）。 （6）矩陣與相似的充分必要條件為 （A） （B） （C） （D） 【答案】(B) 【解析】由于為實對稱矩陣，故一定可以相似對角化，從而與相似的充分必要條件為的特征值為。 又，從而。 （7）設(shè)是隨機變量，且, 則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（A） 【解析】由知， ， ，故. 由根據(jù)及概率密度的對稱性知，，故選（A） （8）設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，則X和Y的概率分布分別為， 則 ( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】（C） 【解析】，又根據(jù)題意獨立，故 ，選（C）. 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上. （9）設(shè)曲線和在點處有公共的切線，則________。 【答案】 【解析】在處的導(dǎo)數(shù)是，故， （10）設(shè)函數(shù)由方程確定，則________。 【答案】 【解析】原式為左右兩邊求導(dǎo)得： 得 （11）求________。 【答案】 【解析】 （12）微分方程通解為________。 【答案】 【解析】特征方程為，所以通解為 （13）設(shè)是三階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，若 【答案】 【解析】 （14）設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則= ________。 【答案】 【解析】由及隨機變量函數(shù)的期望公式知 . 三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （15）（本題滿分10分） 當(dāng)時，與為等價無窮小，求與的值。 【解析】因為當(dāng)時，與為等價無窮小 所以 又因為： 即 所以 且 （16）（本題滿分10分） 設(shè)是由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形，分別是繞軸，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若，求的值。 【解析】由題意可得： 因為： 所以 （17）（本題滿分10分） 設(shè)平面內(nèi)區(qū)域由直線及圍成.計算。 【解析】 （18）（本題滿分10分） 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為6000元，可變成本為20元/件，價格函數(shù)為，（P是單價，單位：元，Q是銷量，單位：件），已知產(chǎn)銷平衡，求： （1）該商品的邊際利潤。 （2）當(dāng)P=50時的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟意義。 （3）使得利潤最大的定價P。 【解析】（I）設(shè)利潤為，則 邊際利潤 （II）當(dāng)時，邊際利潤為20， 經(jīng)濟意義為：當(dāng)時，銷量每增加一個，利潤增加20 (III)令，此時 （19）（本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，，證明 （1）存在，使得 （2）對（1）中的，存在使得 【答案】（I）證明：， 上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，存在 （II）在上連續(xù)且可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理， ， 故 （20）（本題滿分11分） 設(shè)，當(dāng)為何值時，存在矩陣使得，并求所有矩陣。 【解析】 由題意可知矩陣C為2階矩陣，故可設(shè)，則由可得線性方程組： （1） 由于方程組（1）有解，故有，即從而有 ，故有 從而有 （21）（本題滿分11分） 設(shè)二次型，記。 （I）證明二次型對應(yīng)的矩陣為； （II）若正交且均為單位向量，證明二次型在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型。 【答案】(1) （2），則1,2均為A的特征值，又由于，故0為A的特征值，則三階矩陣A的特征值為2,1,0，故f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 （22）（本題滿分11分） 設(shè)是二維隨機變量，的邊緣概率密度為，在給定的條件下，的條件概率密度 （3） 求的概率密度； （4） 的邊緣概率密度. 【答案】（1） （2） （23）（本題滿分11分） 設(shè)總體的概率密度為其中為未知參數(shù)且大于零，為來自總體的簡單隨機樣本. （1）求的矩估計量； （2）求的最大似然估計量. 【答案】(1)，令，故矩估計量為. (2) 當(dāng)時， 令， 得，所以得極大似然估計量=. 2014年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. （1）設(shè)且則當(dāng)n充分大時有（ ） （A） （B） （C） （D） （2）下列曲線有漸近線的是（ ） （A） （B） （C） （D） （3）設(shè) ，當(dāng) 時，若 是比x3高階的無窮小，則下列試題中錯誤的是 （A） （B） （C） （D） （4）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，，則在區(qū)間上（ ） （A）當(dāng)時， （B）當(dāng)時， （C）當(dāng)時， （D）當(dāng)時， （5）行列式 （A） （B） （C） （D） （6）設(shè)均為3維向量，則對任意常數(shù)，向量組線性無關(guān)是向量組線性無關(guān)的 （A）必要非充分條件 （B）充分非必要條件 （C）充分必要條件 （D）既非充分也非必要條件 （7）設(shè)隨機事件A與B相互獨立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 （8）設(shè)為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從的分布為 （A）F（1,1） （B）F（2,1） （C）t(1） （D）t(2) 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上. （9）設(shè)某商品的需求函數(shù)為（P為商品價格），則該商品的邊際收益為_________。 (10)設(shè)D是由曲線與直線及y=2圍成的有界區(qū)域，則D的面積為_________。 (11)設(shè)，則 (12)二次積分 （13）設(shè)二次型的負慣性指數(shù)為1，則的取值范圍是_________ （14）設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù), 為來自總體X的簡單樣本，若 是的無偏估計，則c = _________ 三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （15）（本題滿分10分） 求極限 （16） （本題滿分10分） 設(shè)平面區(qū)域，計算 （17）（本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，若，求的表達式。 （18） （本題滿分10分） 求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。 （19） （本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，，證明： （I） （II） （20）（本題滿分11分）設(shè)，為3階單位矩陣。 ①求方程組的一個基礎(chǔ)解系； ②求滿足的所有矩陣 （21）（本題滿分11分）證明階矩陣與相似。 （22）（本題滿分11分） 設(shè)隨機變量X的概率分布為P{X=1}=P{X=2}=，在給定的條件下，隨機變量Y服從均勻分布 （1）求Y的分布函數(shù) （2）求EY （23）（本題滿分11分） 設(shè)隨機變量X與Y的概率分布相同，X的概率分布為且X與Y的相關(guān)系數(shù) （1） 求（X，Y）的概率分布 （2）求P{X+Y1} 2014年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題答案 一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. ACDCBABC 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上. （9） （10） （11） （12） （13）[-2,2] （14） 三、解答題：（15）【答案】 （16） 【答案】 （17）【答案】 令， 則， 故 由得 （18）【答案】 由，得 當(dāng)時，發(fā)散，當(dāng)時，發(fā)散， 故收斂域為。 時， 。 時，，故和函數(shù)， 17. 【答案】 證明：1）因為，所以有定積分比較定理可知，，即 。 2）令 由1）可知， 所以。 由是單調(diào)遞增，可知 由因為，所以，單調(diào)遞增，所以，得證。 （20）【答案】① ② （21）【答案】利用相似對角化的充要條件證明。 （22）【答案】（1） （2） （23）【答案】（1） Y X 0 1 0 1 （2） 2015年考研數(shù)學(xué)三真題與解析 一、選擇題 1—8小題．每小題4分，共32分． 1．設(shè)是數(shù)列，則下列命題中不正確的是（ ） （A）若，則（B）若，則 （C）若，則 (D) 若，則 2．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，其二階導(dǎo)數(shù)的圖形如右圖所示，則曲線在的拐點個數(shù)為 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3．設(shè)，函數(shù)在D上連續(xù)，則 （A） （B） （C） （D） 4．下列級數(shù)發(fā)散的是（ ） （A） （B） （C） （D） ５．設(shè)矩陣，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件是 （A） （B） （C） （D） 6．設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若，則在下的標(biāo)準(zhǔn)形為 （A） （B） （C） （D） 7．若為任意兩個隨機事件，則（ ） （A） （B） （C） （D） 8．設(shè)總體為來自總休的簡單隨機樣本，為樣本均值，則 （A） （B） （C） （D） 二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） 9． 10．設(shè)函數(shù)連續(xù)，，若，則 ． 11．若函數(shù)由方程確定，則 ． 12．設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且在處取極值，則 ． 13．設(shè)三階矩陣的特征值為，，其中為三階單位矩陣，則行列式 ． 14．設(shè)二維隨機變量服從正態(tài)分布，則 ． 三、解答題 15．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，在時為等價無窮小，求常數(shù)的取值． 16．（本題滿分10分） 計算二重積分，其中 17．（本題滿分10分） 為了實現(xiàn)利潤最大休，廠商需要對某商品確定其定價模型，設(shè)為該商品的需求量，為價格，為邊際成本，為需求隨意性． （1）證明定價模型為； （2）若該商品的成本函數(shù)為，需求函數(shù)，試由（1）中的定價模型確定此的價格． 18．（本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的，曲線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達式． 19．（本題滿分10分） （1）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明； （2）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，，寫出的求導(dǎo)公式． 20．（本題滿分11分） 設(shè)矩陣，且． （1）求的值； （2）若矩陣滿足，其中為三階單位矩陣，求X． 21．（本題滿分11分） 設(shè)矩陣相似于矩陣． （1）求的值； （2）求可逆矩陣，使為對角矩陣． 22．（本題滿分11分）設(shè)隨機變量X的概率密度為 對X進行獨立重復(fù)的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記為次數(shù)． 求的分布函數(shù)； （1） 求的概率分布； （2） 求數(shù)學(xué)期望 23．（本題滿分11分） 設(shè)總體的概率密度為 其中為未知參數(shù)，是來自總體的簡單樣本． （1）求參數(shù)的矩估計量； （2）求參數(shù)的最大似然估計量． 試題解析 一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. (1)【答案】(D) 【解析】答案為D, 本題考查數(shù)列極限與子列極限的關(guān)系. 數(shù)列對任意的子列均有,所以A、B、C正確； D錯(D選項缺少的斂散性),故選D (2) 【答案】(C) 【解析】根據(jù)拐點的必要條件，拐點可能是不存在的點或的點處產(chǎn)生.所以有三個點可能是拐點，根據(jù)拐點的定義，即凹凸性改變的點；二階導(dǎo)函數(shù)符號發(fā)生改變的點即為拐點.所以從圖可知，拐點個數(shù)為2，故選C. (3) 【答案】(B) 【解析】根據(jù)圖可得，在極坐標(biāo)系下該二重積分要分成兩個積分區(qū)域 所以， 故選B. (4) 【答案】(C) 【解析】A為正項級數(shù)，因為，所以根據(jù)正項級數(shù)的比值判別法收斂；B為正項級數(shù)，因為，根據(jù)級數(shù)收斂準(zhǔn)則，知收斂；C，，根據(jù)萊布尼茨判別法知收斂， 發(fā)散，所以根據(jù)級數(shù)收斂定義知，發(fā)散；D為正項級數(shù)，因為，所以根據(jù)正項級數(shù)的比值判別法收斂，所以選C. (5)【答案】(D) 【解析】， 由，故或，同時或.故選（D） (6) 【答案】(A) 【解析】由，故. 且. 又因為 故有 所以.選（A） (7) 【答案】(C) 【解析】由于，按概率的基本性質(zhì)，我們有且，從而，選(C) . (8) 【答案】(B) 【解析】根據(jù)樣本方差的性質(zhì)，而，從而，選(B) . 二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上. (9) 【答案】 【解析】原極限 (10)【答案】 【解析】因為連續(xù)，所以可導(dǎo)，所以； 因為，所以 又因為，所以 故 (11)【答案】 【解析】當(dāng)，時帶入，得. 對求微分，得 把，，代入上式，得 所以 (12)【答案】 【解析】的特征方程為，特征根為，，所以該齊次微分方程的通解為，因為可導(dǎo)，所以為駐點，即 ，，所以，，故 (13)【答案】 【解析】的所有特征值為的所有特征值為 所以. (14)【答案】 【解析】由題設(shè)知，，而且相互獨立，從而 . 三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. (15)【答案】 【解析】法一： 因為，， 則有，， 可得：，所以，． 法二： 由已知可得得 由分母，得分子，求得c； 于是 由分母，得分子 ，求得； 進一步，b值代入原式 ，求得 (16)【答案】 【解析】 (17)(本題滿分10分) 【答案】(I)略(II) . 【解析】(I)由于利潤函數(shù),兩邊對求導(dǎo)，得 . 當(dāng)且僅當(dāng)時，利潤最大，又由于,所以, 故當(dāng)時，利潤最大. (II)由于,則代入(I)中的定價模型，得,從而解得. (18)【答案】 【解析】曲線的切線方程為，切線與軸的交點為 故面積為：. 故滿足的方程為,此為可分離變量的微分方程, 解得，又由于，帶入可得，從而 (19)【答案】 【解析】（I） （II）由題意得 (20) 【答案】 【解析】(I) (II)由題意知 ， (21) 【答案】 【解析】(1) 的特征值 時的基礎(chǔ)解系為 時的基礎(chǔ)解系為 A的特征值 令， (22) 【答案】(I)， ； (II). 【解析】(I) 記為觀測值大于3的概率，則， 從而， 為的概率分布； (II) 法一:分解法: 將隨機變量分解成兩個過程,其中表示從到次試驗觀測值大于首次發(fā)生，表示從次到第試驗觀測值大于首次發(fā)生. 則，(注：Ge表示幾何分布) 所以. 法二:直接計算 記，則， ， ， 所以， 從而. (23) 【答案】(I) ； (II). 【解析】(I) ， 令，即，解得為的矩估計量 ； (II)似然函數(shù)， 當(dāng)時，，則. 從而，關(guān)于單調(diào)增加， 所以為的最大似然估計量. 2016考研數(shù)學(xué)三真題及超詳細答案解析 一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上. （1）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)如圖所示，則（ ） （A）函數(shù)有2個極值點，曲線有2個拐點 （B）函數(shù)有2個極值點，曲線有3個拐點 （C）函數(shù)有3個極值點，曲線有1個拐點 （D）函數(shù)有3個極值點，曲線有2個拐點 【答案】（B） 【解析】【解析】由圖像易知選B 2、已知函數(shù)，則 （A） （B） （C） （D） 【答案】（D） 【解析】 ，所以 （3）設(shè)，其中，，則 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】由積分區(qū)域的性質(zhì)易知選B. （4）級數(shù)為，（K為常數(shù)） （A）絕對收斂 （B）條件收斂 （C）發(fā)散 （D）收斂性與K有關(guān) 【答案】A 【解析】由題目可得， 因為，由正項級數(shù)的比較判別法得，該級數(shù)絕對收斂。 （5）設(shè)是可逆矩陣，且與相似，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） （A）與相似 （B）與相似 （C）與相似 （D）與相似 【答案】（C） 【解析】此題是找錯誤的選項。由與相似可知，存在可逆矩陣使得，則 此外，在（C）中，對于，若，則，而未必等于，故（C）符合題意。綜上可知，（C）為正確選項。 （6）設(shè)二次型的正負慣性指數(shù)分別為，則（ ） （A） （B） （C） （D）或 【答案】（C） 【解析】考慮特殊值法，當(dāng)時，， 其矩陣為，由此計算出特征值為，滿足題目已知條件，故成立，因此（C）為正確選項。 7、設(shè)為隨機事件，若則下面正確的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（A） 【解析】根據(jù)條件得 8、設(shè)隨機變量獨立，且，則為 （A）6 （B）8 （C）14 （D）15 【答案】（C） 【解析】因為獨立， 則 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上. (9)已知函數(shù)滿足，則 【答案】6 【解析】因為 所以 (10)極限． 【答案】 【解析】 (11)設(shè)函數(shù)可微，有方程確定，則． 【答案】 【解析】兩邊分別關(guān)于求導(dǎo)得 ，將代入得， (12) （13）行列式____________. 【答案】 【解析】 14、設(shè)袋中有紅、白、黑球各1個，從中有放回的取球，每次取1個，直到三種顏色的球都取到為止，則取球次數(shù)恰為4的概率為 【答案】 【解析】 三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15 （本題滿分10分）求極限 【解析】 16、（本題滿分10分） 設(shè)某商品的最大需求量為1200件，該商品的需求函數(shù)，需求彈性，為單價（萬元） (1)求需求函數(shù)的表達式 (2)求萬元時的邊際收益，并說明其經(jīng)濟意義。 【解析】（1）由彈性的計算公式得 可知 分離變量可知 兩邊同時積分可得 解得 由最大需求量為1200可知 ，解得 故 （2）收益 邊際收益： 已知 經(jīng)濟學(xué)意義是需求量每提高1件，收益增加8000萬元. （17） （本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)求，并求的最小值。 【解析】當(dāng)時， 當(dāng)時， 則 由導(dǎo)數(shù)的定義可知， 故 由于是偶函數(shù)，所以只需求它在上的最小值。 易知 可知的最小值為。 （18） （本題滿分10分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足，求 【解析】令，則 代入方程可得 兩邊同時求導(dǎo)可得 由于連續(xù)，可知可導(dǎo)，從而也可導(dǎo)。 故對上式兩邊再求導(dǎo)可得 在(1)式兩邊令可得 解此微分方程可得 （19）（本題滿分10分）求 冪級數(shù)的收斂域和和函數(shù)。 【解析】令 兩邊同時求導(dǎo)得 兩邊同時求導(dǎo)得 兩邊積分可得 由可知， 兩邊再積分可知 易知，的收斂半徑為1， 且當(dāng)時級數(shù)收斂，可知冪級數(shù)的收斂域為[-1,1] 因此，，[-1,1] （20）（本題滿分11分）設(shè)矩陣，且方程組無解， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求方程組的通解 【解析】 （Ⅰ）由方程組無解，可知，故這里有，或。由于當(dāng)時，，而當(dāng)時，。綜上，故符合題目。 （Ⅱ）當(dāng)時，，故 ， 因此，方程組的通解為,其中為任意實數(shù)。 （21）（本題滿分11分） 已知矩陣. （Ⅰ）求； （Ⅱ）設(shè)3階矩陣，滿足，記，將分別表示為的線性組合。 【解析】 （Ⅰ）利用相似對角化。 由，可得的特征值為