一、單選題（本大題共8小題，共40分．） 1. 已知隨機(jī)變量，，那么（） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計算可得. 【詳解】因為，所以，又， 所以. 故選：B 2. 如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根據(jù)題意可知每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，分類研究，不同色； 同色兩大類，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得答案． 【詳解】由題意知，分兩種情況： (1)不同色，先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得有種； (2) 同色；先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得有種． 由分類加法計數(shù)原理，共有種， 故選：A． 3. 利用獨立性檢驗考察兩個變量X與Y是否有關(guān)系，通過2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨立性檢驗．經(jīng)計算，那么認(rèn)為X與Y是有關(guān)系，這個結(jié)論錯誤的可能性不超過（） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2706 3.841 5.024 6.635 10.828 A0.001 B. 0.005 C. 0.05 D. 0.01 【答案】C 【解析】 【分析】利用獨立性檢驗思想及檢驗值，在表中讀取對應(yīng)數(shù)據(jù)即可. 【詳解】根據(jù)檢驗結(jié)果，可知， 所以這個結(jié)論錯誤的可能性不超過0.050，即可知C正確. 故選：C 4. 變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)下表數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可以得到其回歸直線方程，則=（） x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】回歸直線過樣本中心，求出樣本中心代入回歸直線方程求得結(jié)果. 【詳解】由已知得，，而回歸直線過樣本中心， ∴，∴， 故選：C. 5. 為了應(yīng)對即將到來的汛期，某地防汛指揮部抽調(diào)名專業(yè)人員（包括甲、乙兩人）平均分成三組，對當(dāng)?shù)厝幹攸c水利工程進(jìn)行防汛安全檢查，則甲、乙不同組的概率為（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考慮甲、乙在同一組的分組方法種數(shù)，以及將六人平均分為三組的分組方法數(shù)，利用古典概型的概率公式以及對立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【詳解】考慮甲、乙在同一組，只需將其他四人分為兩組即可，分組方法種數(shù)為， 將六人平均分為三組，每組兩人，則不同的分組方法種數(shù)為， 因此，甲、乙不同組的概率為. 故選：D. 6. 從裝有個白球，個紅球的密閉容器中逐個不放回地摸取小球. 若每取出個紅球得分，每取出個白球得分. 按照規(guī)則從容器中任意抽取個球，所得分?jǐn)?shù)的期望為（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根據(jù)取出小球的所有情況寫出得分的所有可能，根據(jù)超幾何公式求得各個取值對應(yīng)的概率，進(jìn)而得到其分布列，求出期望. 【詳解】解：設(shè)得分為，根據(jù)題意可以取，，. 則，， ， 則分布列為： 4 3 2 所以得分期望為. 故選：. 7. 下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為用表示小球落入格子的號碼，則下面計算錯誤的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式可判斷AB選項；利用二項分布的期望和方差的性質(zhì)可判斷CD選項. 【詳解】設(shè)“向右下落”，“向左下落”，則， 因為小球最后落入格子的號碼等于事件發(fā)生的次數(shù)， 而小球下落的過程中共碰撞小木釘5次，所以， 對于A：，故A正確； 對于B：，故B錯誤； 對于C：，故C正確； 對于D：，故D正確； 故選：B 8. 若拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)分別為a，b，則“在函數(shù)的定義域為R的條件下，滿足函數(shù)為偶函數(shù)”的概率為（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】記函數(shù)的定義域為R為事件A，求得，記函數(shù)為偶函數(shù)為事件B，求得，再利用條件概率公式求解即可. 【詳解】拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)分別為a，b，共36種情況，如下 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 記函數(shù)的定義域為R為事件A， 即恒成立，需滿足，即， 滿足的有26種情況，故. 記函數(shù)為偶函數(shù)為事件B， 函數(shù)的定義域為，由偶函數(shù)的定義知，即或. 滿足或的有6種情況，故, 故, 故選：B 二、多選題（本大題共4小題，共20分．） 9. 隨機(jī)變量且，隨機(jī)變量，若，則（） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根據(jù)正態(tài)分布的期望方差性質(zhì)可判斷A、B，根據(jù)及二項分布期望公式可求出，根據(jù)二項分布方差的計算公式可求出，進(jìn)而求得. 【詳解】解：因為且， 所以，故，，選項A正確，選項B錯誤； 因為，所以， 所以，解得，選項C正確； ，選項D正確. 故選：ACD. 10. 已知，則（） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根據(jù)題意通過賦值逐項分析判斷. 【詳解】對于A：令，可得，故A錯誤； 對于B：令，可得，故B正確； 對于C：令，可得， 結(jié)合選項B，兩式作差，可得， 即，故C正確； 對于D：令，可得，故D正確. 故選：BCD. 11. 以下列說法中正確的是（） A. 回歸直線至少經(jīng)過點（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一個點 B. 相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)越強(qiáng) C. 已知隨機(jī)變量x服從二項分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則 D. 設(shè)服從正態(tài)分布N（0，1），若，則 【答案】BCD 【解析】 【分析】根據(jù)回歸直線性質(zhì)可判斷選項A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的強(qiáng)弱關(guān)系可判斷選項B， 根據(jù)二項分布的特征可判斷選項C，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項D. 【詳解】對AB，回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點，而樣本中心點并不一定是（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一個點， 故A錯 相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)越強(qiáng)，B正確； 對C，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p），所以30×（1－p）＝20，則p＝，故C對； 對D，，故D對， 故選：BCD 12. 某學(xué)校共有5個學(xué)生餐廳，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每人隨機(jī)地選擇一家餐廳就餐（選擇到每個餐廳概率相同），則下列結(jié)論正確的是（） A. 四人去了四個不同餐廳就餐的概率為 B. 四人去了同一餐廳就餐的概率為 C. 四人中恰有2人去了第一餐廳就餐的概率為 D. 四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的期望為 【答案】ACD 【解析】 【分析】對于ABC，利用排列組合的意義及古典概型概率的求法，求出對應(yīng)事件的概率，從而得以判斷； 對于D，根據(jù)題意得到第一餐廳就餐的人數(shù)服從二項分布，從而利用二項分布數(shù)學(xué)期望的求法求得的期望，由此判斷即可. 【詳解】依題意得，四位同學(xué)隨機(jī)選擇一家餐廳就餐有選擇方法， 對于A，四人去了四個不同餐廳就餐的概率為，故A正確； 對于B，四人去了同一餐廳就餐的概率為，故B錯誤； 對于C，四人中恰有2人去了第一餐廳就餐的概率為，故C正確； 對于D，每個同學(xué)選擇去第一餐廳的概率為， 所以去第一餐廳就餐的人數(shù)服從二項分布， 所以，故D正確. 故選：ACD. 三、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 若隨機(jī)變量，，則______. 【答案】 【解析】 【分析】由二項分布的期望公式列方程求得，再由對應(yīng)方差公式求方差即可. 【詳解】由題設(shè)，則，而. 故答案為： 14. 重慶八中某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績服從正態(tài)分布.若，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績高于120的概率是__________. 【答案】##0.15625 【解析】 【分析】結(jié)合正態(tài)分布特點先求出，再由獨立重復(fù)試驗的概率公式即可求解. 【詳解】因?qū)W生成績符合正態(tài)分布，故，故任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績高于120的概率為. 故答案為： 15. 已知，則_____________. 【答案】30 【解析】 【分析】利用二項式定理的原理與組合的意義求解即可. 【詳解】因為，所以是含項的系數(shù)， 若從10個式子中取出0個，則需要從中取出3個，7個1，則得到的項為； 若從10個式子中取出1個，則需要從中取出1個，8個1，則得到的項為； 若從10個式子中取出大于或等于2個，則無法得到含的項； 綜上：含的項為，則含項的系數(shù)為，即. 故答案為：. 16. 某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數(shù)（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合與的關(guān)系，設(shè)，與的數(shù)據(jù)如表格所示： 3 4 6 7 2.5 3 4 5.9 得到與的線性回歸方程，則___________. 【答案】 【解析】 【分析】根據(jù)已知求得，，進(jìn)而代入回歸方程可求得，從而得出.然后代入，根據(jù)指對互化，即可得出答案. 詳解】由已知可得，，， 所以，有，解得， 所以. 由，得， 所以， 所以. 故答案為：. 四、解答題（本大題共6小題，共70分．） 17. 已知的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和等于．求： （1）的值； （2）展開式中的常數(shù)項； （3）展開式中系數(shù)最大的項． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)和，可解方程求得的值； （2）由二項式定理可得二項展開式通項，將代入通項中即可得到常數(shù)項； （3）設(shè)第項的系數(shù)最大，采用不等式法可構(gòu)造不等式組求得的值，代入通項即可求得系數(shù)最大的項. 【小問1詳解】 展開式的二項式系數(shù)和為，，解得：. 【小問2詳解】 展開式通項為：， 令，解得：，則展開式常數(shù)項為. 【小問3詳解】 設(shè)展開式第項的系數(shù)最大， 則，即，解得：， 又，，展開式中系數(shù)最大的項為. 18. 從5名男生和3名女生中選出3人，分別求符合下列條件的選法數(shù). （1）男同學(xué)甲、女同學(xué)乙必須被選出； （2）至少有2名女生被選出； （3）讓選出的3人分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等3種不同職務(wù)，但體育委員由男生擔(dān)任，文娛委員由女生擔(dān)任. 【答案】（1）6 （2）16 （3）90 【解析】 【分析】（1）先選出男同學(xué)甲、女同學(xué)乙，再從其它6個人中再選1人即可. （2）先從8人中任選3人，再把沒有女學(xué)生入選和只有1名女生入選的算出來，再用排除法，由此求得選法數(shù). （3）用分步計數(shù)原理，先選出一個男生擔(dān)任體育班委，再選出1名女生擔(dān)任文娛班委，再剩下的6人中任取1人擔(dān)任其它班委，相乘即可. 【小問1詳解】 解：根據(jù)題意，先選出男同學(xué)甲，女同學(xué)乙，再從其它6個人中再選1人即可，共有種選法； 【小問2詳解】 解：從8人中任選3人，有種選法，沒有女學(xué)生入選，即全選男生的情況有種情況， 只有1名女生入選，即選取1女4男，有種選法，故所有符合條件選法數(shù)為：--=16種； 【小問3詳解】 解：選出一個男生擔(dān)任體育班委，有種情況， 再選出1名女生擔(dān)任文娛班委，有種情況， 剩下的6人中任取1人擔(dān)任其它班委，有種情況， 用分步計數(shù)原理可得到所有方法總數(shù)為：種. 19. 某校為激發(fā)學(xué)生對天文、航天、數(shù)字科技三類知識的興趣，舉行了一次知識競賽（三類題目知識題量占比分別為40%，40%，20%）．某同學(xué)回答這三類問題中每個題的正確率分別為，，． （1）若該同學(xué)在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率； （2）若該同學(xué)從這三類題中各任選一題作答，每回答正確一題得2分，回答錯誤不得分，設(shè)該同學(xué)回答三題后的總得分為X分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【答案】（1） （2）分布列見解析，3 【解析】 【分析】（1）根據(jù)題意，由全概率公式即可得到結(jié)果； （2）由題意可得，X的可能取值為0，2，4，6，分別求得其所對應(yīng)的概率，即可得到分布列，從而得到期望. 【小問1詳解】 設(shè)所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關(guān)知識的題目分別為事件，，， 所選的題目回答正確為事件B， 則 ， 所以該同學(xué)在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為； 【小問2詳解】 X的可能取值為0，2，4，6， ， ， ， ， 則X的分布列為 X 0 2 4 6 P 所以. 20. 國寶大熊貓“丫丫”的回國路，牽動著十四億中國人的心，由此掀起了熱愛、保護(hù)動物的熱潮．某動物保護(hù)機(jī)構(gòu)為了調(diào)查研究人們“保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別是否有關(guān)”，從某市市民中隨機(jī)抽取200名進(jìn)行調(diào)查，得到部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 保護(hù)動物意識強(qiáng) 保護(hù)動物意識弱 合計 男性 70 30 100 女性 40 60 100 合計 110 90 200 （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為人們保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別有關(guān)？并說明原因； （2）將頻率視為概率，現(xiàn)從該市女性的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次．記被抽取的3人中“保護(hù)動物意識強(qiáng)”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 參考公式：，其中． 【答案】（1）認(rèn)為保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別有關(guān)，理由見解析 （2）分布列見解析，． 【解析】 【分析】（1）根據(jù)公式計算，與臨界值進(jìn)行比較，可得結(jié)論； （2）根據(jù)X的可能取值，計算相應(yīng)的概率，列出分布列，由公式計算數(shù)學(xué)期望. 小問1詳解】 零假設(shè)為：保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別相互獨立，即保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別無關(guān)， 由題意，． 所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立． 即認(rèn)為保護(hù)動物意識的強(qiáng)弱與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.010； 【小問2詳解】 由題意可知：在女性的市民中抽到1人“保護(hù)動物意識強(qiáng)”的概率為， 所以，X的所有可能取值為0，1，2，3， ， ， ， ， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P ． 21. 某城市的公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站，為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)： 間隔時間（x分鐘） 6 8 10 12 14 等候人數(shù)（y人） 15 18 20 24 23 （1）易知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； （2）建立y關(guān)于x的回歸直線方程，并預(yù)測車輛發(fā)車間隔時間為20分鐘時乘客的等候人數(shù)． 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，；相關(guān)系數(shù)；． 【答案】（1）答案見解析 （2），31人. 【解析】 【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式，分別計算數(shù)據(jù)求解即可； （2）根據(jù)回歸直線方程的參數(shù)計算公式可得關(guān)于的回歸直線方程為，再代入求解即可. 【小問1詳解】 由題意，知，， ，， 所以.又，則. 因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.95，說明與的線性相關(guān)非常高， 所以可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. 【小問2詳解】 由（1）可得，， 則， 所以關(guān)于的回歸直線方程為， 當(dāng)時，， 所以預(yù)測車輛發(fā)車間隔時間為20分鐘時乘客的等候人數(shù)為31人. 22. 某商店計劃七月份訂購某種飲品，進(jìn)貨成本為每瓶元，未售出的飲品降價處理，以每瓶元的價格當(dāng)天全部處理完.依經(jīng)驗，零售價與日需求量依據(jù)當(dāng)天的溫度而定，當(dāng)氣溫時，零售價為每瓶元，日需求量為瓶；當(dāng)時，零售價為每瓶元，日需求量為瓶；當(dāng)時，零售價為每瓶元，日需求量為瓶.已知七月份每天氣溫的概率為，的概率為，的概率為. （1）求七月份這種飲品一天的平均需求量； （2）若七月份某連續(xù)三天每天的氣溫均不低于，求這三天銷售這種飲品的總利潤的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）瓶 （2）答案見解析 【解析】 【分析】（1）根據(jù)題意可得日需求量分別為、、時的概率，然后利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式即可求解； （2）先設(shè)出每天的進(jìn)貨量，分和求出日利潤，然后由題意得和的概率，對這三天的氣溫情況討論，求得這三天的總利潤的所有可能取值及其對應(yīng)的概率，進(jìn)而得分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望. 【小問1詳解】 解：設(shè)七月份這種飲品的日需求量為，則的可能取值有、、， 由題意知，，， 所以， 故七月份這種飲品一天平均需求量為瓶. 【小問2詳解】 解：因為這三天每天的氣溫不低于，所以這三天這種飲品每天的需求量至多為瓶，至少為瓶， 設(shè)這三天每天的進(jìn)貨量為瓶，則， 當(dāng)時，日利； 當(dāng)時，日利潤. 由題意知七月份某一天的氣溫的概率， 所以的概率，的概率. 設(shè)這三天銷售這種飲品的總利潤為， 若這三天的氣溫都滿足，則，； 若這三天中有兩天的氣溫滿足，一天的氣溫滿足， 則， ； 若這三天中有一天的氣溫滿足，兩天的氣溫滿足， 則， ； 若這三天的氣溫都滿足，則，. 所以的分布列如下表所示： 故，其中. 【點睛】思路點睛：求解隨機(jī)變量分布列的基本步驟如下： （1）明確隨機(jī)變量的可能取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布； （2）求出每一個隨機(jī)變量取值的概率； （3）列成表格，對于抽樣問題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由排列、組合數(shù)公式求隨機(jī)變量在不同取值下的概率，放回抽樣由分步乘法計數(shù)原理求隨機(jī)變量在不同取值下的概率.