正態(tài)分布是應用最正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布廣泛的一種連續(xù)型分布.正態(tài)分布在十九世紀前葉由正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式率的一個近似公式，這一公式被認為是被認為是正態(tài)分布的首次露面正態(tài)分布的首次露面.第五講第五講 正態(tài)分布正態(tài)分布 （高斯（高斯GaussGauss分布）分布）高高爾爾頓頓釘釘板板試試驗驗這條曲線就近似我們將要介紹這條曲線就近似我們將要介紹的的正態(tài)分布正態(tài)分布的密度曲線。的密度曲線。正態(tài)分布的定義是什么呢？正態(tài)分布的定義是什么呢？對于連續(xù)型隨機變量，一般是給出對于連續(xù)型隨機變量，一般是給出它的它的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)。一、正態(tài)分布的定義一、正態(tài)分布的定義 若若r.v X的的概率密度為概率密度為記作記作 f(x)所確定的曲線叫作所確定的曲線叫作正態(tài)曲線正態(tài)曲線.其中其中 和和 都是常數(shù)，都是常數(shù)，任意，任意，0，則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布.下面驗證滿足概率密度性質下面驗證滿足概率密度性質:(1)f(x)0,(2)證明：證明：而而 令令 t=cos,u=sin從而從而 二、正態(tài)分布二、正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點 正態(tài)分布的密度曲線是一條關于正態(tài)分布的密度曲線是一條關于 對對稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線.特點是特點是“兩頭小，中間大，左右對稱兩頭小，中間大，左右對稱”.”.決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置，決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度.正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點 能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達式，能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達式，得出正態(tài)分布的圖形特點呢？得出正態(tài)分布的圖形特點呢？容易看到，容易看到，f(x)0即整個概率密度曲線都在即整個概率密度曲線都在x軸的上方軸的上方;故故f(x)以以為對稱軸，并在為對稱軸，并在x=處達到最大處達到最大值值:令令x=+c,x=-c(c0),分別代入分別代入f(x),可得可得f(+c)=f(-c)且且 f(+c)f(),f(-c)f()這說明曲線這說明曲線 f(x)向左右伸展時，越來越向左右伸展時，越來越貼近貼近x軸。即軸。即f(x)以以x軸為軸為漸近線漸近線。當當x 時，時，f(x)0,用求導的方法可以證明，用求導的方法可以證明，為為f(x)的兩個的兩個拐點的橫坐標。拐點的橫坐標。x=這是高等數(shù)學的內容，如果忘記了，課下這是高等數(shù)學的內容，如果忘記了，課下再復習一下。再復習一下。根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖。態(tài)分布的概率密度曲線圖。下面是我們用某大學男大學生的身高下面是我們用某大學男大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線紅線是擬是擬合的正態(tài)合的正態(tài)密度曲線密度曲線可見，某大學男大學生的身高可見，某大學男大學生的身高應服從正態(tài)分布。應服從正態(tài)分布。人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多數(shù)數(shù)，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少數(shù)數(shù)，而而且且較較高高和和較較矮矮的的人人數(shù)數(shù)大大致致相相近近，這這從從一一個個方方面面反反映映了了服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布的的隨隨機機變變量量的的特特點。點。除了我們在前面遇到過的身高外除了我們在前面遇到過的身高外,在正在正常條件下各種產(chǎn)品的質量指標，如零件的尺常條件下各種產(chǎn)品的質量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 的隨機變量的隨機變量X的的概率密度是概率密度是X的分布函數(shù)的分布函數(shù)P(Xx)是怎樣的呢？是怎樣的呢？設設X ,X的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和和唯唯一確定，一確定，當當和和不同時，是不同的正不同時，是不同的正態(tài)分布。態(tài)分布。標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布三、標準正態(tài)分布三、標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：它的依據(jù)是下面的定理：它的依據(jù)是下面的定理：標準正態(tài)分布的重要性在于，標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布.根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標準正態(tài)分布的只要將標準正態(tài)分布的分布分布函數(shù)制成表函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題率計算問題.,則則 N(0,1)設設定理定理1 書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.四、正態(tài)分布表四、正態(tài)分布表表中給的是表中給的是x0時時,(x)的值的值.當當x0時時若若N(0,1)若若 XN(0,1),由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，這說明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區(qū)間區(qū)間內，超出這個范圍的可能性僅占不到內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當當XN(0,1)(0,1)時，時，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974五、五、3 3 準則準則將上述結論推廣到一般的正態(tài)分布將上述結論推廣到一般的正態(tài)分布,時，時，可以認為，可以認為，Y 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在區(qū)間內區(qū)間內.這在統(tǒng)計學上稱作這在統(tǒng)計學上稱作“3 3 準則準則”（三倍標準差原則）（三倍標準差原則）.例例2 公共汽車車門的高度是按男子與車門公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在以下來設計的頂頭碰頭機會在以下來設計的.設男子設男子身高身高XN(170,62),),問車門高度應如何確定問車門高度應如何確定?解解:設車門高度為設車門高度為h cm,按設計要求按設計要求P(X h或或 P(X h)，下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的 h.再看一個應用正態(tài)分布的例子再看一個應用正態(tài)分布的例子:因為因為XN(170,62),),故故 P(X0.99所以所以 =2.33,即即 h=170+13.98 184設計車門高度為設計車門高度為184厘米時，可使厘米時，可使男子與車門碰頭男子與車門碰頭機會不超過機會不超過.P(X h)0.99求滿足求滿足的最小的的最小的 h.這一講，我們介紹了正態(tài)分布，這一講，我們介紹了正態(tài)分布，它的它的應用極為廣泛，在本課程中我們一直要和應用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道它打交道.后面第五章中，我們還將介紹為什么后面第五章中，我們還將介紹為什么這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布.一、問題的提出一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.求截面面積求截面面積 A=的分布的分布.例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布，第六講第六講 隨機變量函數(shù)隨機變量函數(shù)分布分布 一、問題的提出一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.已知已知t=t0 時刻噪聲電壓時刻噪聲電壓 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R為電阻）為電阻）的分布等的分布等.設隨機變量設隨機變量X 的分布已知，的分布已知，Y=g(X)(設設g是連續(xù)函數(shù)），如何由是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？下面進行討論下面進行討論.這個問題無論在實踐中還是在理論這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的上都是重要的.二、離散型隨機變量二、離散型隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)的分布解：解：當當 X 取值取值 1，2，5 時，時，Y 取對應值取對應值 5，7，13，例例1求求 Y=2X+3 的概率分布的概率分布.而且而且X取某值與取某值與Y取其對應值是兩個同時發(fā)生取其對應值是兩個同時發(fā)生的事件的事件，兩者具有相同的概率，兩者具有相同的概率.故故X 1 2 5 P 0.2 0.5 0.3X 5 7 13 P 0.2 0.5 0.3如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當中有一些是相同的，把它們作適當并項即可并項即可.一般，若一般，若X是離散型是離散型 r.v，X的概率分布列為的概率分布列為則則 Y=g(X)X x1 x2 xn P p1 p2 pn g(X)g(x1)g(x2)g(xn)P p1 p2 pn 如：如：則則 Y=X2 的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為：X -1 0 1 P 0.3 0.6 0.1X 0 1 P 0.6 0.4 三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 已知隨機變量已知隨機變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)FX(x),概率密度概率密度fX(x),求隨機變量求隨機變量Y=g(X)的分布函數(shù)的分布函數(shù)FY(y),概率概率密度密度fY(y)時，有兩種方法：時，有兩種方法：1.分布函數(shù)法分布函數(shù)法:(1)FY(y)=P(Yy)=Pg(X)y2.將它用將它用FX(x)表示，表示，(2)解：解：設設Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)，例例2設設 X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y =P(2X+8 y)=P X =FX()于是于是Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù)故故注意到注意到 0 x 4 時，時，即即 8 y 0 時時,注意到注意到 Y=X2 0，故當，故當 y 0時，時，設設Y和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 和和 ，解：解：若若則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為：從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求P(Yy)的過的過程中，關鍵的一步是設法程中，關鍵的一步是設法從從 g(X)y 中解出中解出X,從而得到與從而得到與 g(X)y 等價的等價的X的不等式的不等式.例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 用用 代替代替 X2 y 這樣做是為了利用已知的這樣做是為了利用已知的 X的分布，從的分布，從而求出相應的概率而求出相應的概率.這是求的函數(shù)的分布的一種常用方法這是求的函數(shù)的分布的一種常用方法.例例4 設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為求求Y=sinX的概率密度的概率密度.當當 y 0時時,當當 y 1時時,當當時時故故解解:注意到注意到,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X ）解：解：當當0y1時時,例例4 設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為求求Y=sinX的概率密度的概率密度.當當0y1,G(y)=1;對對y0,G(y)=0;由于由于對對0y1,G(y)=P(Y y)=P(F(X)y)=P(X (y)=F(y)=y即即Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是求導得求導得Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)可見可見,Y 服從服從0，1上的均勻分布上的均勻分布.本例的結論在計算機模擬中有重要的應用本例的結論在計算機模擬中有重要的應用.例如，想得到具有密度函數(shù)為例如，想得到具有密度函數(shù)為的隨機數(shù)的隨機數(shù).參數(shù)為參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布 根據(jù)前面的結論，根據(jù)前面的結論，Y=F(X)服從服從0,1上的均勻分布上的均勻分布.由于由于 當當x0時，時，是嚴格單調的連續(xù)函數(shù)是嚴格單調的連續(xù)函數(shù).應如何做呢？應如何做呢？于是得到產(chǎn)生指數(shù)分布的隨機數(shù)的方于是得到產(chǎn)生指數(shù)分布的隨機數(shù)的方法如下法如下:均勻隨機數(shù)均勻隨機數(shù) ui給指數(shù)分布參數(shù)給指數(shù)分布參數(shù)令令指數(shù)隨機數(shù)指數(shù)隨機數(shù) 下面給出一個定理，在滿下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出足定理條件時可直接用它求出隨機變量函數(shù)的概率密度隨機變量函數(shù)的概率密度.2.公式法：公式法：定理定理1：若若y=g(x)連續(xù)且嚴格單調，其反函數(shù)連續(xù)且嚴格單調，其反函數(shù) x=h(y)具有連續(xù)導數(shù)，則具有連續(xù)導數(shù)，則Y=g(X)為連續(xù)為連續(xù) 型隨機變量，其概率密度為：型隨機變量，其概率密度為：定理定理2：若若y=g(x)連續(xù)且在不相交的區(qū)間連續(xù)且在不相交的區(qū)間I1，I2，In上逐段嚴格單調，對應的反函數(shù)分上逐段嚴格單調，對應的反函數(shù)分 別為別為h1(y),h2(y),hn(y),則則Y=g(X)為連續(xù)為連續(xù) 型隨機變量，其概率密度為：型隨機變量，其概率密度為：例例6 設隨機變量設隨機變量X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布，求求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解：在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上上,函數(shù)函數(shù)lnx0,于是于是 y在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上單調下降，有反函數(shù)上單調下降，有反函數(shù)由前述定理得由前述定理得注意取注意取絕對值絕對值已知已知X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布，代入代入 的表達式中的表達式中得得即即Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布的指數(shù)分布.對于連續(xù)型隨機變量，在求對于連續(xù)型隨機變量，在求Y=g(X)的的分布時，分布時，關鍵的一步是把事件關鍵的一步是把事件 g(X)y 轉轉化為化為X在一定范圍內取值的形式在一定范圍內取值的形式，從而可以，從而可以利用利用 X 的分布來求的分布來求 P g(X)y.這一講我們介紹了隨機變量函數(shù)的分布這一講我們介紹了隨機變量函數(shù)的分布.P66 例例4的結論記住，即若的結論記住，即若XN（,2）則則Y=aX+bN(a+b,a22).正態(tài)變量的線性函正態(tài)變量的線性函數(shù)仍為正態(tài)變量。數(shù)仍為正態(tài)變量。第第三三章章內內容容總總框框圖圖隨機變量及其分布隨機變量及其分布 隨機變量概念的引入 連續(xù)型隨機變量及其概率密度離散型隨機變量及其概率分布列概率密度與分布函數(shù)的關系隨機變量的分布函數(shù)分布列與分布函數(shù)的關系幾種重要的連續(xù)型分布隨機變量函數(shù)的分布 幾種重要的 離散型分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布二項分布的正態(tài)近似二項分布泊松分布幾何分布超幾何分布二項分布的泊松近似