單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,四、二次曲面,第三節(jié),一、曲面方程的概念,二、旋轉(zhuǎn)曲面,三、柱面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,曲面及其方程,第七章,一、曲面方程的概念,求到兩定點,A,(1,2,3),和,B,(2,-1,4),等距離的點的,化簡得,即,說明:,動點軌跡為線段,AB,的垂直平分面.,引例:,顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.,解:設(shè)軌跡上的動點為,軌跡,方程.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義,1.,如果曲面,S,與方程,F,(,x,y,z,)=0,有下述關(guān)系:,(1),曲面,S,上的任意點的坐標都滿足此方程;,則,F,(,x,y,z,)=0,叫做曲面,S,的,方程,曲面,S,叫做方程,F,(,x,y,z,)=0,的,圖形,.,兩個基本問題:,(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面,S,上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀,(必要時需作圖).,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,故所求方程為,例,1.,求動點到定點,方程,.,特別,當,M,0,在原點時,球面方程為,解:,設(shè)軌跡上動點為,即,依題意,距離為,R,的軌跡,表示上(下)球面.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例,2.,研究方程,解:,配方得,此方程表示:,說明:,如下形式的三元二次方程,(,A,0),都可通過配方研究它的圖形.,其圖形可能是,的曲面.,表示,怎樣,半徑為,的球面.,球心為,一個,球面,或,點,或,虛軌跡,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義,2,.,一條平面曲線,二、旋轉(zhuǎn)曲面,繞其平面上一條,定直線,旋轉(zhuǎn),一周,所形成的曲面叫做,旋轉(zhuǎn)曲面,.,該定直線稱為,旋轉(zhuǎn),軸.,例如:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,建立,yoz,面上曲線,C,繞,z,軸旋轉(zhuǎn)所成曲面,的方程:,故旋轉(zhuǎn)曲面方程為,當繞,z,軸旋轉(zhuǎn)時,若點,給定,yoz,面上曲線,C,:,則有,則有,該點轉(zhuǎn)到,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考：,當曲線,C,繞,y,軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為,z,軸,半頂角為,的圓錐面方程,.,解,:,在,yoz,面上直線,L,的方程為,繞,z,軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為,兩邊平方,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例,4.,求坐標面,xoz,上的雙曲線,分別繞,x,軸和,z,軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程,.,解:繞,x,軸旋轉(zhuǎn),繞,z,軸旋轉(zhuǎn),這兩種曲面都叫做,旋轉(zhuǎn)雙曲面,.,所成曲面方程為,所成曲面方程為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、柱面,引例.,分析方程,表示怎樣的曲面,.,的坐標也滿足方程,解:,在,xoy,面上,，,表示圓,C,沿曲線,C,平行于,z,軸的一切直線所形成的曲面,稱為,圓柱面,.,故在空間,過此點作,對任意,z,平行,z,軸的直線,l,表示,圓柱面,在圓,C,上任取一點,其上所有點的坐標都滿足此方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義3.,平行定直線并沿定曲線,C,移動的直線,l,形成,的軌跡叫做,柱面,.,表示,拋物柱面,母線平行于,z,軸;,準線為,xoy,面上的拋物線.,z,軸的,橢圓柱面,.,z,軸的,平面,.,表示母線平行于,(且,z,軸在平面上,),表示母線平行于,C,叫做,準線,l,叫做,母線,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一般地,在三維空間,柱面,柱面,平行于,x,軸;,平行于,y,軸;,平行于,z,軸;,準線,xoz,面上的曲線,l,3.,母線,柱面,準線,xoy,面上的曲線,l,1.,母線,準線,yoz,面上的曲線,l,2.,母線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,四、二次曲面,三元二次方程,其基本類型有:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為,二次曲面,.,(二次項系數(shù)不全為 0),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1,.,橢球面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.拋物面,(1),橢圓拋物面,(,p,q,同號),(2),雙曲拋物面（鞍形曲面）,特別,當,p=q,時為繞,z,軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.,(,p,q,同號),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3.雙曲面,(1)單葉雙曲面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2),雙葉雙曲面,注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,P18 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4.,橢圓錐面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1.空間曲面,三元方程,球面,旋轉(zhuǎn)曲面,如,曲線,繞,z,軸的旋轉(zhuǎn)曲面:,柱面,如,曲面,表示母線平行,z,軸的柱面.,又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.二次曲面,三元二次方程,橢球面,拋物面,:,橢圓拋物面,雙曲拋物面,雙曲面,:,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,橢圓錐面,:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,斜率為1的直線,平面解析幾何中,空間解析幾何中,方 程,平行于,y,軸的直線,平行于,yoz,面的平面,圓心在(0,0),半徑為 3 的圓,以 z 軸為中心軸的,圓柱面,平行于 z 軸的平面,思考與練習,1.,指出下列方程的圖形:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,