單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,一微積分學基本定理,Newton和leibniz獨立創(chuàng)立微積分之前，已有積分和微分的概念，它們起源不同，出現(xiàn)的時間有先后，解決的問題也不同，但Newton和leibniz幾乎同時發(fā)現(xiàn)了它們的聯(lián)系微積分學基本定理，從而創(chuàng)立了Calculus，這是里程碑式的成果。,第5節(jié),微積分學基本定理,類似地可有“變下限積分”,稱為“,變上限積分,”。,1變上限積分,，隨著 在 中的變動，也在變動。且 對于 是唯一的，因此可定義在 上的一個新的函數(shù)，記為：,2微積分學基本定理,，表 的增量，表 的增量,積分中值定理,因 在 和 之間，,時，,微積分學基本定理,Th.4.1,設 在 上連續(xù),可導，且,e.g.1,求,e.g.2,求,Remark,類似地,，,思考：,？,3原函數(shù)及其性質(zhì)、不定積分,（1）原函數(shù)的概念,稱滿足 的函數(shù) 為 的一個原函數(shù),e.g.,是 的一個原函數(shù),是 的一個原函數(shù),是 的一個原函數(shù),（2）原函數(shù)的基本性質(zhì),即 的任意兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)。,（i）若 是 的一個原函數(shù),也是 的原函數(shù),（ii）若 和 都是 的原函數(shù),的所有原函數(shù)的集合稱為 的,不定積分,，記為 。,即,記成 ，,（3）不定積分（indefinite integral）,只要知道 的一個原函數(shù)，就可由它表示出 的所有原函數(shù)，即不定積分。,(4)基本積分公式,設 是 的一個原函數(shù),令,再令,也是一個原函數(shù),4定積分的計算,Newton-leibniz公式,這即著名的,微積分學基本公式,，也稱牛-萊公式，它揭示微分與積分之間的關系，表示只要求出 的一個原函數(shù)，即可求得定積分的數(shù)值。,e.g.3,計算,它給出了定積分的一種計算方法，而不必通過復雜的極限運算。,e.g.4,計算,問,：,能不能用此方法，為什么？,e.g.5,計算正弦曲線 在 上與 軸所圍成的平面圖形面積。,e.g.6,計算,Remark,定積分的計算取決于能否較容易地求得被積函數(shù)的原函數(shù)，這涉及到積分法，我們這里不打算多講，可參看有關參考書。,5微分運算與積分運算的互逆性質(zhì),由不定積分概念和微積分基本定理可知，有互逆運算：,or,or,二變限積分的極限,無窮積分,若 對 有定義,可考慮 時的極限,若,稱極限值為函數(shù) 在無窮區(qū)間,上的,無窮積分,(,infinite integral,)。,記為,i.e.,類似地可定義,計算無窮積分：,（i）,（ii）,e.g.7,Remark,當在 上的積分 和在 上積分 均存在時，稱 在 上積分存在，記為,e.g.,概率積分,三定積分的應用、微元法,1幾何應用平面圖形的面積,在區(qū)間 上選取一個具代表性的“區(qū)間,微元,”，對應的面積微元為 ，i.e.,平面圖形由,圍成，求該平面圖形的面積。,可以證明 與窄曲邊形的實際面積“近似”相等（即相差一個高階無窮小量）。,計算拋物線 與 圍成的面積。,e.g.8,所求面積,Remark,上述這種用一個微元來代替精確量的計算法稱為,微元法,。,它體現(xiàn)了“以直代曲”，“以不變代變”的思想，是微積分中一個很重要的思想。,2旋轉體體積,平面圖形繞著它所在平面內(nèi)的一條直線旋轉一周所成的立體稱為,旋轉體,，這條直線稱為,旋轉軸,。,e.g.9,考慮雙曲線 在 內(nèi)部分。讓其繞x軸旋轉，則旋轉后得一曲面，求此曲面與 所圍體積。,Sol.,考慮 上任一點 處，取一小微元,表面積為,此薄片相應的體積微元和表面積微元分別為,體積為,若 連續(xù)地向右移，使 ，則旋轉曲面稱為Gabriel喇叭。,其體積為,表面積為,表明Gabriel喇叭具有有限的體積，而有無窮的表面積。這是與“直觀”不同。,3在經(jīng)濟學中的應用,我們已知，在經(jīng)濟學中，常用導數(shù)表示一些邊際經(jīng)濟量。例如邊際成本 ，邊際收益 ，邊際利潤 等。反過來，如果已知邊際量，要求總量，則可采用積分求解。,e.g.10,某商品的需求量 為價格 的函數(shù)，該商品的最大需求量為1000，已知邊際需求為,，求需求量 與價格 的函數(shù)關系,。,Sol.,e.g.11,Sol.,作 業(yè),1.P43.11(2)(3)(5)(6),2.P43.12(1)(3)(4)(5)(6),3.(補充)設生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為20元，生產(chǎn),件產(chǎn)品的邊際成本為 （元/件），試求總成本函數(shù) 。,