單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,6.2,向量及其線性運(yùn)算,向量：,既有大小又有方向的量,.,向量表示：,模長為,1,的向量,.,零向量：,模長為,0,的向量,.,|,向量的模：,向量的大小,.,單位向量：,或,或,或,一、向量的概念,自由向量：,不考慮起點(diǎn)位置的向量,.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量,.,負(fù)向量：,大小相等但方向相反的向量,.,向徑：,空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn),與原點(diǎn)構(gòu)成的向量,.,平行：如果兩個向量所在的線段平行，則稱兩向量平行,1,加法：,（平行四邊形法則）,特殊地：若,分為同向和反向,（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）,二、向量的加減法,向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：,（,1,）交換律：,（,2,）結(jié)合律：,（,3,）,2,減法,三、數(shù)與向量的乘法,數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：,（,1,）結(jié)合律：,（,2,）分配律：,兩個向量的平行關(guān)系,按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，,上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量,.,證,充分性顯然；,例,2,試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形,.,證,結(jié)論得證,.,空間兩向量的夾角的概念：,類似地，可定義,向量與一軸,或,空間兩軸,的夾角,.,特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在,0,與 之間任意取值,.,四、向量的投影,空間一點(diǎn)在軸上的投影,空間一向量在軸上的投影,注：投影的結(jié)果是一個數(shù)量值，可正可負(fù)。,關(guān)于向量的,投影定理（,1,）,證,定理,1,的說明：,投影為正；,投影為負(fù)；,投影為零；,(4),相等向量在同一軸上投影相等；,關(guān)于向量的,投影定理（,2,）,（可推廣到有限多個）,五、向量的坐標(biāo)表示,向量在,軸上的投影,向量在,軸上的投影,向量在,軸上的投影,按基本單位向量的,坐標(biāo)分解式,：,在三個坐標(biāo)軸上的,分向量,：,向量的,坐標(biāo),：,向量的,坐標(biāo)表達(dá)式,：,特殊地：,向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,解,設(shè),為直線上的點(diǎn)，,由題意知：,非零向量 的,方向角,：,非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角,.,三、向量的方向角與方向余弦,由圖分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用來表示向量的方向,.,向量模長的坐標(biāo)表示式,當(dāng) 時，,向量方向余弦的坐標(biāo)表示式,方向余弦的特征,特殊地：單位向量的方向余弦為,解,所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向,或,空間直角坐標(biāo)系,空間兩點(diǎn)間距離公式,（注意它與平面直角坐標(biāo)系的,區(qū)別,）,（軸、面、卦限）,小結(jié),向量的概念,向量的加減法,向量與數(shù)的乘法,（注意與標(biāo)量的區(qū)別）,（平行四邊形法則）,（注意數(shù)乘后的方向）,向量在軸上的投影與投影定理,.,向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo),.,向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式,.,（注意分向量與向量的坐標(biāo)的,區(qū)別,）,思考題,已知平行四邊形,ABCD,的對角線,試用 表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量,.,思考題解答,思考題,思考題解答,對角線的長為,在初等數(shù)學(xué)中，幾何與代數(shù)是彼此獨(dú)立的兩個分支；在方法上，它們也基本是互不相關(guān)的。解析幾何的建立，不僅由于在內(nèi)容上引入了變量的研究而開創(chuàng)了變量數(shù)學(xué)，而且在方法上也使幾何方法與代數(shù)方法結(jié)合起來。,1637,年，笛卡兒發(fā)表了,方法論,及其三個附錄，他對解析幾何的貢獻(xiàn)，就在第三個附錄,幾何學(xué),中，他提出了幾種由機(jī)械運(yùn)動生成的新曲線。在,平面和立體軌跡導(dǎo)論,中，費(fèi)爾馬解析地定義了許多新的曲線。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開始，然后求它的方程；費(fèi)爾馬則從方程出發(fā)，然后來研究軌跡。這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面，“解析幾何,(analytical geometry)”,的名稱是以后才定下來的。,閱讀材料,analytical geometry,這門課程達(dá)到現(xiàn)在課本中熟悉的形式，是,100,多年以后的事。象今天這樣使用坐標(biāo)、橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)這幾個術(shù)語，是萊布尼茲于,1692,年提出的。,1733,年，年僅,18,歲的克雷洛出版了,關(guān)于雙重曲率曲線的研究,一書，這是最早的一部空間解析幾何著作。,1748,年，歐拉寫的,無窮分析概要,，可以說是符合現(xiàn)代意義的第一部解析幾何學(xué)教程。,1788,年，拉格朗日開始研究有向線段的理論。,1844,年，格拉斯曼提出了多維空間的概念，并引入向量的記號。于是多維解析幾何出現(xiàn)了。解析幾何在近代的發(fā)展，產(chǎn)生了無窮維解析幾何和代數(shù)幾何等一些分支。普通解析幾何只不過是代數(shù)幾何的一部分，而代數(shù)幾何的發(fā)展同抽象代數(shù)有著密切的聯(lián)系。,1619,年，笛卡爾在多瑙河的諾伊堡軍營里，終日沉迷在數(shù)學(xué)的思考之中：“幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組數(shù)聯(lián)系起來，突然，他看見屋頂上一只蜘蛛拉著絲垂下來了，一會兒，蜘蛛 又順著絲爬上去，在上面左右拉絲。蜘蛛的表演使笛卡爾的思路豁然開朗，于是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創(chuàng)建了直角坐標(biāo)系。,閱讀材料,analytical geometry,作業(yè),第,3,頁：,2,6,第,9,頁：,3,7,8,9,10,11,13,14,