,,,,,,,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,*,*,定積分,,第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì),,,a,b,x,y,o,實(shí)例,1,,（求曲邊梯形的面積）,一、問題的提出,,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．,（四個(gè)小矩形）,（九個(gè)小矩形）,,曲邊梯形如圖所示，,,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,,實(shí)例,2,,（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）,思路,：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．,,（,1,）分割,部分路程值,某時(shí)刻的速度,（,2,）求和,（,3,）取極限,路程的精確值,,二、定積分的定義,定義,,被積函數(shù),被積表達(dá)式,積分變量,記為,積分上限,積分下限,積分和,,注意：,,定理,1,定理,2,三、存在定理,,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,四、定積分的幾何意義,,幾何意義：,,例,1,,利用定義計(jì)算定積分,解,,,五、定積分 的性質(zhì),,,,證,（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）,性質(zhì),1,,證,性質(zhì),2,,補(bǔ)充,：不論 的相對(duì)位置如何,,,上式總成立,.,例,若,（,定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）,則,性質(zhì),3,,證,性質(zhì),4,性質(zhì),5,,解,令,于是,可以直接作出答案,,性質(zhì),5,的推論：,證,（,1,）,,證,說明：,,可積性是顯然的,.,性質(zhì),5,的推論：,（,2,）,,證,（,此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）,性質(zhì),6,曲邊梯形的面積 夾在兩個(gè)矩形之間,,解,例,2,,不計(jì)算定積分 估計(jì) 的大小,,證,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,性質(zhì),7,（,Th5.1,定積分第一中值定理）,積分中值公式,,使,即,積分中值公式的幾何解釋：,,Th5.2(,推廣的積分第一中值定理）,,考察定積分,記,積分上限函數(shù),六、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),,證,,由積分中值定理得,,計(jì)算下列導(dǎo)數(shù),,補(bǔ)充,證,,例,1,求,解,分析：,這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則,.,,定理,2,（原函數(shù)存在定理）,定理的重要意義：,（,1,）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的,.,（,2,）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系,.,,定理,3,（微積分基本公式）,證,七 牛頓,—,萊布尼茨公式,,令,令,牛頓,—,萊布尼茨公式,,微積分基本公式表明：,注意,求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題,.,,例,4,求,,原式,例,5,設(shè),,,,求,.,解,解,,例,6,求,,解,由圖形可知,,則有,1.,微積分基本公式,積分中值定理,微分中值定理,牛頓,–,萊布尼茨公式,,,定理,八、換元公式,,證,,,應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意,:,（,1,）,（,2,）,,,例,1,計(jì)算,例,2,計(jì)算,,例,1,計(jì)算,解,湊微分是第一類換元積分法，特點(diǎn)是不要明顯地?fù)Q元，也就不要更換積分的上下限。,,例,2,計(jì)算,解,原式,,例,3,計(jì)算,解,,三角代換和根式代換,,,例,4,計(jì)算,解,令,原式,明顯換元,,證,,,奇函數(shù),例,6,計(jì)算,解,原式,偶函數(shù),單位圓的面積,,總結(jié)：,,,1,、定積分公式,—,,2,、定積分計(jì)算方法（直接代入，湊微分，根式代換，三角代換）,,3,、根式和三角代換為明顯的代換，所以換元要換上下限,,4,、 介紹了積分上限函數(shù),,5,、積分上限函數(shù)是原函數(shù),,6,、計(jì)算上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,證,（,1,）設(shè),,,（,2,）,由此計(jì)算,設(shè),,,定積分的分部積分公式,推導(dǎo),九、分部積分公式,,例,,計(jì)算,解,,例,2,,計(jì)算,解,令,則,,例,3,,計(jì)算,解,例,4,,計(jì)算,,例,5,,計(jì)算,解,,第四節(jié) 廣義積分,一、無窮限的廣義積分,,,,例,1,,計(jì)算廣義積分,解,簡(jiǎn)記為,,例,1,,計(jì)算廣義積分,解,,證,,,,,,,,回顧,曲邊梯形求面積的問題,第五節(jié)、定積分應(yīng)用,a,b,x,y,o,,1,、幾何上的應(yīng)用,,,面積,,,,a,b,x,y,o,面積元素,,一、平面圖形的面積,1.,直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及,,x,,軸所圍曲,則,邊梯形面積為,A,,,右圖所示圖形，面積元素為,,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積,,c,有時(shí)也會(huì)選,y,,為積分變量,,解,（,1,）作圖,,（,2,）求出兩曲線的交點(diǎn),,（,3,） 選 為積分變量,（,4,）代公式,,解,兩曲線的交點(diǎn),選 為積分變量,,解題步驟：,,(2),求出交點(diǎn)；,(3),選擇合適的積分變量，確定積分區(qū)間，計(jì)算。,(1),畫出草圖；,,例,3.,求橢圓,解,:,,利用對(duì)稱性,,,所圍圖形的面積,.,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng),a,=,b,,時(shí)得圓面積公式,,二、立體體積,設(shè)所給立體垂直于,x,,軸的截面面積為,A,(,x,),,則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),,,1.,已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,,例,1.,,一平面經(jīng)過半徑為,R,,的圓柱體的底圓中心,,,并,與底面交成,?,角,,,解,:,,如圖所示取坐標(biāo)系,,,則,圓的方程為,垂直于,x,,軸 的截面是直角三角形,,,其面積為,利用對(duì)稱性,計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積,.,,思考,:,,可否選擇,y,,作積分變量,?,此時(shí)截面面積函數(shù)是什么,?,如何用定積分表示體積,?,提示,:,,,旋轉(zhuǎn)體,就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做,旋轉(zhuǎn)軸,．,圓柱,圓錐,圓臺(tái),旋轉(zhuǎn)體的體積,,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),,,有,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞,y,,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),,,有,2.,旋轉(zhuǎn)體的體積,,x,y,o,旋轉(zhuǎn)體的體積為,,,,,,例,1.,,計(jì)算由橢圓,所圍圖形繞,x,,軸旋轉(zhuǎn)而,轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積,.,解,:,利用直角坐標(biāo)方程,則,(,利用對(duì)稱性,),,例,.,,與,x,,軸圍成的封閉圖形,繞直線,y,＝,3,旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積,.,(1994,考研,),解,:,,利用對(duì)稱性,,,故,旋轉(zhuǎn)體體積為,在第一象限,求曲線,,解,,