學(xué)案13 定積分與微積分基本定理,定積分與微積分基本定理,(1)了解定積分的實(shí)際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念.,,(2)了解微積分基本定理的含義.,,在高考中出現(xiàn)的題目應(yīng)屬于容易題，考查定積分的簡(jiǎn)單,,,應(yīng)用(如求曲線圍成的面積、力做的功等）的可能性較大.,1.,用化歸法計(jì)算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積的具體步驟為,,、,,、,,,、,,.,,2、定積分的定義,,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù),用分點(diǎn)a=x,0,<x,1,<,,…<x,i-1,<…<x,n,=b將區(qū)間［a,b］等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間［x,i-1,,x,i,］上任取一點(diǎn)ξ,i,(i=1,2,…,n),作和,,,式,,.當(dāng)n→+∞時(shí),上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分,,取極限,分割,近似代替,求和,記作,,,即 =,,,其中f(x)叫做,,,x叫做__________,f(x)dx叫做,,,區(qū)間［a,b］叫做,,,a叫做,,,b叫做,,,“∫”稱為積分號(hào).,積分上限,被積函數(shù),積分變量,被積式,積分區(qū)間,積分下限,3、定積分的性質(zhì),,1.定積分的線性性質(zhì),,=,,（k為常數(shù)），,,=,.,,2.定積分對(duì)區(qū)間的可加性,,= +,,+(a＜b＜c).,,4、微積分基本定理,,設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，F(xiàn)（x）是f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)，即F′(x)=f(x)，那么 = F(b)-F(a).這個(gè)公式也叫牛頓—萊布尼茲（NewtonLeibniz）公式.這個(gè)公式把積分和微分這兩個(gè)不同的概念聯(lián)系起來(lái)，從而把求定積分 的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f(x)的原函數(shù)的問(wèn)題.,考點(diǎn)1 利用微積分定理求定積分,計(jì)算下列定積分:,,,(1),,dx；,,,(2) x(x+1)dx;,,【分析】,求出被積函數(shù)的原函數(shù),用微積分基本定理,,進(jìn)行求解,計(jì)算 f(x)dx的關(guān)鍵是找到滿足F′(x)=f(x)的函數(shù)F(x).其中F(x)可將基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逆向使用得到.,【解析】,(1)∵ dx=lnx =ln4-ln2=ln2,2,-ln2=2ln2-ln2=ln2.,,(2)∵x(x+1)=x,2,+x且（ x,3,）′=x,2,,（ x,2,）′=x,,,∴ x(x+1)dx= (x,2,+x)dx,,= x,2,dx+ xdx= x,3,+ x,2,,=（ ×2,3,-0）+（ ×2,2,-0）= .,,【評(píng)析】,計(jì)算一些簡(jiǎn)單的定積分，解題的步驟是：（1）把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；（2）把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；（3）分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)；（4）利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值；（5）計(jì)算原始定積分的值.,求下列定積分:,,(1) (2x-3x,2,)dx;,,(2) sin,2,dx;,,(3) (x+ )dx.,(1) (2x-3x,2,)dx= 2xdx- 3x,2,dx=x,2,-x,3,=-18.,,(2) sin,2,dx= dx,,= dx- cosxdx,,= x -,sinx,,= .,(3) ( x+ )dx= xdx+ dx,,= x,2,+lnx = +ln2.,設(shè)y=f(x)為區(qū)間［0,1］上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分 f(x)dx,先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù)x,1,,x,2,,…,x,N,和y,1,,y,2,,…,y,N,,由此得到N個(gè)點(diǎn)(x,i,,y,i,)(i=1,2,…,N).再數(shù)出其中滿足y,i,≤f(x,i,)(i=1,2,…,N)的點(diǎn)數(shù)N,1,,那么由隨機(jī)模擬方法可得積分 f(x)dx的近似值為.,考點(diǎn)2 利用定積分幾何意義求定積分,且共有N個(gè)數(shù)對(duì),即N個(gè)點(diǎn).而滿足y,i,≤f(x,i,)的有N,1,個(gè)點(diǎn),即在函數(shù)f(x)的圖象上及圖象下方有N1個(gè)點(diǎn),所以用幾何概型的概率公式得:f(x)在x=0到x=1上與x軸圍成的面積為 ×1= ,即 f(x)dx= .,【解析】,因?yàn)?≤f(x)≤1且由積分的定義知 f(x)dx是由直線x=0,x=1及曲線y=f(x)與x軸圍成的面積.又產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)對(duì)在如圖所示的正方形內(nèi),正方形的面積為1,,【分析】,利用定積分的幾何意義解題.,,【評(píng)析】,本題考查了幾何概型、定積分等知識(shí)，難度不大，但綜合性較強(qiáng)，很好地考查了學(xué)生對(duì)積分等知識(shí)的理解和應(yīng)用，題目比較新穎.,求定積分 .,令y= ，則(x-3),2,+y,2,=25(y≥0),,,∵ 表示由曲線y= 在［-2,3］上的一段與x軸和直線x=3所圍成的面積，,,∴ = ·π·5,2,= π.,考點(diǎn)3 定積分的應(yīng)用,,由曲線y=x,2,,y=x,3,圍成的封閉圖形面積為 ( ),,A. B. C. D.,,【分析】,先求出y=x,2,與y=x,3,的交點(diǎn),再由定積分的幾何意義求面積.,,y=x,2,,y=x,3,,因此所求圖形面積為S= (x,2,-x,3,)dx=（ x,3,- x,4,） = .,,故應(yīng)選A.,A,【解析】,由,得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(1,1),,求拋物線y,2,=2x與直線y=4-x圍成的平面圖形的面積.,y,2,=2x,,y=4-x,,解出拋物線和直線的交點(diǎn)為(2,2),,及(8,-4).,,解法一,:選x作為積分變量,,,由圖可看出S=A,1,+A,2,,,【解析】,由方程組,在A,1,部分:由于拋物線的上半支方程為y= ,,,下半支方程為y=- ，所以,,=,,= ,,,=,,=,,于是：S= =18.,解法二,：選y作積分變量，,,將曲線方程寫為x= 及x=4-y.,,S=,,=30-12=18.,考點(diǎn)4 定積分在物理中的應(yīng)用,,一輛汽車的速度—時(shí)間曲線如圖所示,求此汽車在這,,1 min內(nèi)所行駛的路程.,【分析】,由題意知,在t∈［0,10),,和t∈［40,60)物體做勻變速直線,,運(yùn)動(dòng),t∈［10,40)做勻速運(yùn)動(dòng),∴v(t),,應(yīng)為分段函數(shù),應(yīng)三段求積分.,【解析】,由速度—時(shí)間曲線易知,,,3t, t∈［0,10),,30, t∈［10,40),,-1.5t+90, t∈［40,60］,,,由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式可得,,,,,答:此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m.,v(t)=,,【評(píng)析】,用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)的位置與路程問(wèn)題時(shí),將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是關(guān)鍵.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)往往是分段函數(shù),故求積分時(shí)要利用積分的性質(zhì)將其分成幾段積分,然后求出積分的和,即可得到答案.,列車以72 km/h的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度a=-0.4 m/s,2,,問(wèn)列車在進(jìn)站前多長(zhǎng)時(shí)間，以及離車站多遠(yuǎn)處開(kāi)始制動(dòng)？,,,【解析】,1.被積函數(shù)若含有絕對(duì)值號(hào)應(yīng)去絕對(duì)值號(hào),再分段積分.,,2.若積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù),則必須先分清誰(shuí)是被積變量.,,3.求曲邊多邊形的面積,其步驟為:,,(1)畫出草圖,在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖象.,,(2)借助圖形確定被積函數(shù),求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上限、下限.,,(3)將曲邊梯形的面積表示為若干定積分之和.,,(4)計(jì)算定積分.,返回目錄,,4.用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)的位置與路程問(wèn)題時(shí),將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是關(guān)鍵.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)往往是分段函數(shù),故求積分時(shí)要利用積分的性質(zhì)將其分成幾段積分,然后求出積分的和,即可得到答案,由于函數(shù)是分段函數(shù),所以運(yùn)算過(guò)程可能稍微復(fù)雜些,因此在運(yùn)算過(guò)程中一定要細(xì)心,不要出現(xiàn)計(jì)算上的錯(cuò)誤.,,5.若曲邊梯形的面積易求,可以利用曲邊梯形的面積來(lái)求得定積分.,名師伴你行,SANPINBOOK,祝同學(xué)們學(xué)習(xí)上天天有進(jìn)步！,名師伴你行,SANPINBOOK,