單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,引例：,一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？,問題的,實質(zhì),：應(yīng)沿,由熱變冷變化最驟烈,的方向（即梯度方向）爬行,第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,一、問題的提出,討論函數(shù) 在一點P沿某一方向的變化率問題,二、方向?qū)?shù)的定義,當(dāng) 沿著 趨于 時，,是否存在？,記為,在偏導(dǎo)數(shù)存在的前提下,證明:,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,兩邊同除以,得到,是方向余弦,故有方向?qū)?shù),亦等于,x,z,y,0,l,y,x,z,P,P,0,z=f,(,x,y,),Q,M,是曲面在,點,P,0,處沿,方向,l,的變化率，,即半切線,方向?qū)?shù),方向?qū)?shù)的幾何意義,的斜率.,N,（看成是割線，切線是割線的極限位置）,解：,所求方向?qū)?shù),解,由方向?qū)?shù)的計算公式知,故,推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,解,令,故,方向余弦為,故,三、梯度的概念,結(jié)論：,沿梯度方向的方向?qū)?shù)取得最大值，,即,函數(shù)沿梯度方向增長最快，,這個最大值等于這點處梯度的模。,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),稱為函數(shù),f,的,等值線,.,則,L,*,上點,P,處的法向量為,同樣,對應(yīng)函數(shù),有,等值面,(等量面),當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時為零時,其上,點,P,處的法向量為,函數(shù)在一點的,梯度垂直于該點等值面,(或等,高,線),指向函數(shù)增大的方向,梯度的幾何意義：,梯度的方向與等值面（或者等高線）,該點的法線,的,一個方向,相同,（從數(shù)值低的等高線指向數(shù)值高的）.,看書p46圖,等高線的畫法,例如,解,由梯度計算公式得,故,勢與勢場,向量函數(shù),grad,f,(,M,)確定了一個向量場(梯度場),它是,由數(shù)量場,f,(,M,)產(chǎn)生的.通常稱函數(shù),f,(,M,)為這個向量場的勢,而這個向量場又稱為勢場.,必須注意,任意一個向量場不一定是勢場,因為它不,一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場.,四.數(shù)量場與向量場,如果對于空間區(qū)域,G,內(nèi)的任一點,M,都有一個確定的數(shù)量,f,(,M,),則稱在這空間區(qū)域,G,內(nèi)確定了一個數(shù)量場.,如果對于空間區(qū)域,G,內(nèi)的任一點,M,都有一個確定的向量,F,(,M,),則稱在這空間區(qū)域,G,內(nèi)確定了一個向量場.,例5,設(shè)質(zhì)量為,m,的質(zhì)點位于原點,質(zhì)量為,1 的質(zhì)點,位于,記,它表示兩質(zhì)點間的引力,方向朝著原點,大小與質(zhì)量,的乘積成正比,與兩點間距離的平方成反比.,這說明了引力場是數(shù)量場,的梯度場,因此,常稱,為,引力勢,.,1、方向?qū)?shù)的概念,2、梯度的概念,3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的,區(qū)別,）,（注意梯度是一個,向量,）,小結(jié),思考題,答,所以沿著任意方向的方向?qū)?shù)都存在且相等,導(dǎo)數(shù),思考與練習(xí),1.設(shè)函數(shù),(1)求函數(shù)在點,M,(1,1,1)處沿曲線,在該點切線方向的方向?qū)?shù);,(2)求函數(shù)在,M,(1,1,1)處的,梯度,與(1)中,切線方向,的夾角,.,曲線,1.(1),在點,解答提示:,函數(shù)沿,l,的方向?qū)?shù),M,(1,1,1)處切線的方向向量,2,.,函數(shù),在點,處的梯度,解:,則,注意,x,y,z,具有輪換對稱性,(92考研),指向,B,(3,2,2)方向的方向?qū)?shù)是,.,在點,A,(1,0,1)處沿點,A,3.,函數(shù),提示:,則,(96考研),課后思考題：,1.研究多元函數(shù)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，方向?qū)?shù)，梯度的關(guān)系。,2.研究多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，全微分，,方向?qū)?shù)，梯度的幾何意義。,